Родился 27 февраля в деревне Стрункино ныне Сладковского района Тюменской области в крестьянской семье. Окончил начальную школу. Работал в колхозе. В 1938 году юноша вступил в ряды Красной армии.
В июне 1941 года Загоркина мобилизовали Маслянским райвоенкоматом Омской области. После призыва окончил школу сержантов в Сибирском военном округе.
На фронт Николай попал в феврале 1942 года. В начале 1943 года старшего сержанта Закоркина назначили помощником командира разведывательного взвода 2-го отдельного лыжного батальона 3-й отдельной лыжной бригады Карельского фронта. К октябрю того же года разведчик 15 раз ходил в тыл противника, выполнял поставленные боевые задачи, брал пленных. В июле 1944 года в критическую минуту боя заменил погибшего командира взвода и поднял бойцов в атаку, первым ворвался в траншеи противника.
До 1944 года бригада держала оборону на северо-восточной окраине Сегозера. 15 сентября оставшийся в живых личный состав направили на доукомплектование 65-й стрелковой дивизии. В новой части Николая Закоркина назначили командиром отделения 3-й стрелковой роты 60-го стрелкового полка.
Николай Степанович участвовал в Свирско-Петрозаводской наступательной операции. Отличился в боях в Петсамо-Киркенесской наступательной операции, которая проходила с 7 октября по 1 ноября 1944 года. В первый день атаки перед 60-м стрелковым полком поставили боевую задачу: овладеть высотой Большой Кариквайвиш – мощным узлом вражеской обороны на печенгском направлении, который находился в Кольском районе Мурманской области.
Отделение Закоркина незаметно достигло дзота противника на высоте с отметкой «373,1» и, метнув связку гранат, уничтожило расчеты станкового пулемета и противотанковой пушки. Бойцы отделения поднялись в атаку, но снова залегли под огнем фашистов. Закоркин обезвредил точку огня противотанковой гранатой, это позволило взять высоту. Бой переместился в глубину обороны, командир взвода получил тяжелое ранение. Командование принял Закорин. В итоге гитлеровцы потеряли высоту Кариквайвиш и отступили за реку Титовку, но взорвали мост через нее.
Несмотря на вражеский огонь, стрелковый взвод под руководством старшего сержанта Закоркина дерзким и стремительным броском вброд форсировал Титовку и создал плацдарм на ее западном берегу. Маневр обеспечил быструю переправу остальных подразделений полка, окружение и разгром гитлеровцев. В этом бою 8 октября 1944 года Николай Закоркин погиб.
Похоронен в братской могиле на 29-м километре дороги Лиинахамари-Никель Печенгского района Мурманской области.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 марта 1945 года старшему сержанту Закоркину Николаю Степановичу присвоено звание Героя Советского Союза посмертно.
Награжден орденом Ленина, Отечественной войны I степени, двумя орденами Красной Звезды.
Именем Героя названы улица в селе Сладково, дом культуры на станции Новоандреевская Сладковского района Тюменской области и большой морозильный рыболовный траулер Мурманского порта.