Родился 19 октября 1925 года в с. Байбузовка Савраньского района Одесской области в Украинской ССР, в семье военного.
Летом 1942 года после девятого класса добровольцем отправился на фронт, хотя его возраст призыву не подлежал. Был зачислен пулеметчиком в действующую армию Северо-Кавказского фронта. После ряда переформирований рядовой Парасюк оказался на Кубани, где, будучи уже артиллеристом, ему довелось взламывать неприступную «голубую линию» фашистов. Вражескую оборону прорвали, и уже через месяц советские войска полностью освободили Кавказ.
Позже, получив звание старшего сержанта, Александр Степанович стал командовать расчетом 122-миллиметровой гаубицы. Он участвовал во многих сражениях, названных потом историческими, освобождал столицы европейских государств – Будапешт, Бухарест и Прагу, где и сделал свой последний выстрел по скоплению не сдавшихся фашистов. Это произошло 17 мая 1945 года, спустя несколько дней после капитуляции Германии.
Затем был бросок через всю Европу и Россию – в Монголию, Китай, труднейший переход через отроги Большого Хингана. В итоге – молниеносный разгром японской армии. На обратном пути, в Иркутске, Парасюк уже готовил артиллеристов в качестве командира учебной батареи. Демобилизовался в 1946 году.
Вернувшись с фронта, Александр Парасюк получил образование, сначала среднее, а затем высшее, окончив в 1952 году Грозненский нефтяной институт по специальности «Машины и оборудование нефтяных промыслов».
Свою трудовую деятельность начал в ПО «Башнефть», работал слесарем треста «Туймазанефть», главным механиком, главным инженером строительно-монтажной конторы треста «Октябрьскнефть», заместителем начальника, начальником строительно-монтажного цеха НПУ «Октябрьскнефть». Занимал руководящие посты.
В январе 1971 года Александр Степанович назначается заместителем начальника главка по капитальному строительству Главтюменнефтегаза. Работал ведущим инженером института «Гипротюменнефтегаз», был консультантом по вопросам капитального строительства ОАО «Тюменнефтегаз».
Избирался президентом Тюменского областного общественного Фонда им. В. И. Муравленко в 1999 году. Неоднократно становился депутатом Тюменского городского совета народных депутатов.
Награды: Орден Славы 3-й степени, орден Отечественной войны 2-й степени, орден «Знак Почёта», медалями «За освоение недр и развитие нефтегазового комплекса Западной Сибири», «За оборону Кавказа», «За освобождение Праги», «За победу над Японией», Жукова, «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.», «За трудовую доблесть». Лауреат премии имени Б. Е. Щербины.
На доме, в котором жил Александр Парасюк установлена мемориальная доска.