Родился 26 мая в городе Свердловске (теперь Екатеринбург). В школьные годы отличался плохим поведением, срывал уроки и был оставлен на второй год. В 16 лет Толя неудачно бежал в Ленинградское мореходное училище. Ехали с другом на крыше вагона. Обратно возвращались также. Когда вернулся домой, встретил отца, у которого на глаза наворачивались слезы. Побег, встреча с отцом, разговор с директором школы изменили дальнейшую жизнь подростка.
Анатолий успешно окончил школу и пошел по стопам отца, поступил в Свердловский горный институт им. В. В. Вахрушева. В 1954 году получил направление в Тюмень и устроился работать геологом в Собинскую геолого-поисковую экспедицию города Лабытнанги. В 1958 году в Тюмени организовали геологическое управление, которое возглавлял Ю. Р.-Г. Эрвье. Анатолий Иванович стал его заместителем, главным геологом по твердым полезным ископаемым, гидрогеологии и геологической съемке.
С 1963 года Подсосова назначили главным геологом по твердым полезным ископаемым, гидрогеологии. Эту должность он занимал до 1990 года.
В 1990 году Анатолия Ивановича назначили на должность заместителя председателя правления, главного геолога по твердым полезным ископаемым концерна «Главтюменьгеология». Через год он стал заместителем председателя, главным геологом Западно-Сибирского комитета по использованию недр.
С 1992 по 2000 годы геолог трудился заместителем председателя Западно-Сибирского регионального геологического центра. Затем стал помощником генерального директора, а с 2003 года генеральным директором ЗАО «Геотэкс». Был членом научно-технического совета департамента по недропользованию и экологии Тюменской области.
Анатолий Иванович руководил разведкой и открытием золотоносных залежей в Березовском районе Югры (с 1967 года началась разработка месторождений россыпного золота), металлургических хромитов на Полярном Урале, свинцовых руд, цветных и редких металлов. Подсосов дал жизнь самому крупному на Евро-Азиатском континенте Черкашинскому месторождению йода.
Участвовал в строительстве пусковых шахт для баллистических ракет. Под его руководством выявлены и разведаны около 100 подземных водозаборов и свыше 400 месторождений строительных материалов. На Тараскульском месторождении йодобромных вод теперь построены санатории республиканского значения «Тараскуль» и «Сибирь». Внес большой вклад в научное обеспечение ускоренного развития Западно-Сибирского нефтегазового комплекса.
Заслуженный геолог России, почетный работник топливно-энергетического комплекса России. Награжден орденом «Знак Почета». Награжден орденом «Знак Почета» (1981), медалями «За освоение и развитие нефтегазового комплекса Западной Сибири» (1980), «За заслуги в разведке недр» (1983), «Ветеран труда» (1985). Отмечен знаком «Отличник разведки недр» (1980, 1990).
«За моими плечами – шесть тысяч километров с рюкзаком, который иной раз весил 40 килограммов. Стремитесь делать счастливыми других. Тогда и вам будет хорошо и радостно». Анатолий Подсосов.