Родился 28 марта на железнодорожной станции Мысовая (ныне это часть города Бабушкин). Окончил семь классов и школу фабрично-заводского обучения. Работал на железной дороге – кочегаром и помощником машиниста.
В 1935 году вступил в комсомол и примерно тогда же переехал из Бурят–Монгольской АССР в Саратовскую область. Пошёл по стопам брата и поступил в лётную школу. С 1939 года Борис Быстрых – лётчик гражданской авиации. Сначала его направили в Красноярский край, потом в Тюмень, где будущий герой пилотировал самолёт-амфибию.
В Красной армии Борис Быстрых служил с 1940 года. С первых дней Великой Отечественной был в числе тех, кто давал отпор врагу. К 1 сентября 1942-го он совершил 186 боевых и разведывательных вылетов.
Первый подвиг командир воздушного судна совершил 2 марта 1942 года в небе над Украиной. Перед экипажем стояла задача оборвать провода железнодорожной связи на участке Сумы – Белополье.
Бомбардировщик Пе-2 нёсся над рельсами на высоте 50-100 метров. Когда-то старший лейтенант Быстрых сам водил состав по железной дороге, а теперь немецкий эшелон стал для него целью. Прямым попаданием авиабомбы советские лётчики уничтожили паровоз и несколько вагонов. А потом специальным устройством оборвали три пролёта проводов.
На обратном пути бомбардировщик атаковали шесть немецких истребителей. Отбиваться было нечем – все патроны из пулемёта расстреляли при налёте на поезд. Гитлеровцы же решили вернуться с трофеем – постреляли из пушек и знаками дали понять: «Садись на наш аэродром». Борис сделал вид, что подчинился, но, улучив момент, практически цепляя верхушки деревьев, ушёл от погони. После приземления в корпусе самолёта найдут следы от 12 попаданий из авиапушки и сотни пулевых пробоин.
В июле 1942 года во время разведывательного вылета на участке между городами Калач и Цимлянск (сегодня это Воронежская и Ростовская области) экипаж Бориса Быстрых атаковали три вражеских истребителя. Самолёт был подбит, горел. До своих – больше 40 километров.
«Дотянем!» – решил командир. Дотянули, но уже над самой линией фронта машина начала разваливаться в воздухе. Пришлось прыгать с парашютами. При приземлении бурятский лётчик и радист из его экипажа получили сильные ушибы, а штурман погиб.
Дальше был госпиталь, но ненадолго. Менее чем через две недели Борис Быстрых снова поднялся в воздух – и навёл советские штурмовики на аэродром фашистов.
В ноябре за образцовое выполнение боевых заданий Борису Степановичу присвоили звание Героя Советского Союза. Также среди его наград ордена Ленина, ордена Красного Знамени и Красной Звезды, медали «За отвагу» и «За боевые заслуги».
Погиб лётчик 3 июня 1943-го. Войска карателей окружили брянских партизан, советское командование послало авиацию поддержать своих бойцов с воздуха. Позже от командира партизанского отряда станет известно следующее: «Самолёт после успешной штурмовки был подбит с земли, загорелся, командир был смертельно ранен, но из последних сил посадил машину. Штурман вынес раненого стрелка-радиста в лес, а возвращаясь за телом командира, увидел у самолёта немцев».
Впрочем, как предполагают историки, брошенные против партизан части состояли не из немцев, а из насильно мобилизованных словаков. Во всяком случае, враг устроил Борису Быстрых торжественные похороны, дали залп из автоматов и ушли. На могильном холмике партизаны нашли надпись: «Русский Герой Николай Фунаев». На это имя были документы в лётном планшете.
Партизаны перезахоронили героического лётчика на своей территории. Имя Бориса Быстрых выбито на стеле «1941-1945. Вечная память погибшим в боях авиаторам Тюмени», в его честь названа улица в Тюмени.
В мае 2022 года самолёту Boeing 737-400 авиакомпании «ЮТэйр» с регистрационным номером RA-73068 присвоено имя лётчика Бориса Быстрых.
