Родился 25 декабря 1921 года в деревне Кияй (ныне Манский район) Красноярского края в крестьянской семье. Окончил шесть классов. Работал трактористом. В апреле 1641 года Ивана призвали на службу в армию.
На фронтах Великой Отечественной войны с 22 июня 1941 года в составе 4-й артиллерийской бригады. Боевое крещение принял в первый день войны. В сражении вместе с сослуживцами попал в окружение, которое удалось прорвать ценою больших потерь. Тех, кто остался в живых зачислили в состав 29-го истребительного дивизиона 395-й стрелковой дивизии. Чистяков сражался на Южном, Северо-Кавказском и 1-м Украинском фронтах.
14 декабря 1943 года в бою под городом Житомир (Украина) командир орудия 29-го истребительно-противотанкового дивизиона 396-й стрелковой дивизии 18-й армии 1-го Украинского фронта старший сержант Чистяков со своим расчетом подбил два вражеских танка и штурмовое орудие. За мужество и отвагу, проявленные в боях, 1 января 1944 года старшего сержанта Чистякова Ивана Егоровича наградили орденом Славы III степени.
Во время сражения за село Богородичин в 10 километрах западнее поселка Обертин Тлумачского района Ивано-Франковской области Украины 1 мая 1944 года старший сержант Чистяков прямой наводкой поразил самоходное орудие противника, два пулемета и более отделения пехоты. 24 августа 1944 года старший сержант Чистяков Иван Егорович награжден орденом Славы II степени.
12-14 февраля 1945 года в боях у польского населенного пункта Заган (ныне - Жагань) орудийный расчет старшины Ивана Чистякова подбил вражеский танк, полевое орудие и бронетранспортер. Раненный старшина вместе с воинами-артиллеристами попал в окружение, которое солдаты сумели прорвать в рукопашной схватке. Командир вывел бойцов из окружения и спас орудие.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 27 июня 1945 года за образцовое выполнение заданий командования в боях с немецко-фашистскими захватчиками старшина Чистяков Иван Егорович награжден орденом Славы I степени и стал полным кавалером ордена Славы.
После войны старшина Чистяков продолжил службу в армии. В 1962 году ушел в запас.
Жил в Тюмени. Работал во вневедомственной охране МВД, затем трудился в «Главтюменьгеологии». Скончался 14 июня 1995 года. Похоронен в Тюмени на Червишевском кладбище.
Награжден орденами Отечественной войны I и II степени, Красной Звезды, Славы I, II и III степени, медалями.
На доме, в котором жил Иван Егорович установлена мемориальная доска.