Родился 10 сентября 1926 года в деревне Качиповой Тобольского района Тюменской области в большой семье крестьян-бедняков. Окончив в 1940-м году четыре класса начальной школы, он начал работать в колхозе. Когда началась война, Александр приехал в военкомат попроситься на фронт добровольцем, не взяли – годами не вышел. После гибели в бою отца, несколько раз пытался сбежать на фронт.
В ноябре 1943 года был призван в Красную Армию. Прошел подготовку на наводчика противотанкового ружья в 128-м стрелковом запасном полку и был направлен на фронт.
В мае 1944 года рядовой Логунов прибыл 490-й стрелковый полк. С первых дней зарекомендовал себя грамотным и умелым бронебойщиком. Участвовал в боях при освобождении белорусских городов Витебска, Орши, Могилева, Минска. Особо отличился на литовской земле.
6 октября 1944 года при прорыве обороны у литовского города Расейняй подбил автомашину и тягач с 105-мм пушкой.
18 октября у деревни Глобеле Шакяйского района, 12 танков противника прорвались к переправе – мосту через реку Шяшупе. Нависла угроза ликвидации захваченного пехотой плацдарма. В бою с танками бронебойщик Логунов меткими выстрелами в уязвимые места подбил 5 гитлеровских машин. Был в этом бою ранен.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 марта 1945 года за образцовое выполнение заданий командования и проявленные мужество и героизм в боях с немецко-фашистскими захватчиками красноармейцу Логунову Александру Никитичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 6176).
После госпиталя отважный боец вернулся в часть. Войну сержант Логунов закончил в Восточной Пруссии. Менее чем за год боев был дважды ранен и контужен. За мужество и отвагу в боях награжден двумя орденами Славы 2-й и 3-й степени, тремя медалями «За отвагу», медалями «За боевые заслуги», «За взятие Кенигсберга» и «За взятие Будапешта», «За победу над Германией».
В мае 1946 сержант Логунов А. Н. демобилизован. Вернулся домой, сел за школьную парту и успешно закончил курс средней школы. С 1947 года служил в органах Министерства внутренних дел (МВД). С 1949 года – старший стрелок оперативно-розыскного подразделения Управления МВД по Тюменской области. Затем служил на Дальнем Востоке оперуполномоченным в управлении Дальстроя (там стал офицером), помощником коменданта спецкомендатуры. С 1963 года – начальник исправительно-трудовой колонии № 1 в городе Тюмени. За 18 лет службы в МВД он всегда служил примером образцового выполнения служебных задач, был награжден медалями «За безупречную службу» I, II и III степени.
Заслуженный ветеран скончался 6 декабря 1968 года. Похоронен на Червишевском кладбище города Тюмени.
По решению Тюменского горсовета одну из улиц Тюмени назвали именем Александра Логунова. На этой улице установлены аннотационная и мемориальная доски. На доме, где он жил, установлена мемориальная доска.
9 ноября 2005 года в преддверии дня милиции в год 60-летия Победы на могиле А. Н. Логунова установлена мемориальная плита.