Родился 23 декабря 1912 года в селе Трожково Нижнетавдинского района Тюменской области. После окончания начальной школы с 1937 года работал бригадиром в колхозе.
В июле 1941 года Роман Новопашин был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию в составе формируемого в Омске 714-го отдельного линейного батальона связи. После переформирования батальона проходил службу в 737-й отдельной кабельно-шестовой роте в Омске. Ушел на фронт в августе 1942 года. Воевал на Западном, Воронежском, Брянском, Центральном, 1-м Украинском фронтах.
К октябрю 1943 года красноармеец Роман Новопашин был линейным надсмотрщиком 737-й отдельной кабельно-шестовой роты 3-й гвардейской танковой армии Воронежского фронта. Отличился во время битвы за Днепр. Ночью 7 октября 1943 года вплавь преодолел реку, нашел лодку и пригнал ее на левый берег Днепра. Затем погрузил в лодку кабель весом 150 кг, несмотря на артиллерийско-минометный огонь противника, проложил его по Днепру на правый берег реки. Закончив прокладку кабеля через реку, сделал еще четыре рейса через Днепр и перевез имущество, необходимое для дальнейшей работы на линии связи.
В последующих боях еще 12 суток под непрерывным обстрелом обеспечивал бесперебойную связь командования армии, вплавь отыскивая повреждения на линии связи и своевременно их устраняя.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 17 ноября 1943 года красноармеец Роман Новопашин был удостоен высокого звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
В одном из последующих боёв, в январе 1944 года Роман Иванович тяжело ранен. После выписки из госпиталя он был демобилизован. Проживал и работал сначала на родине, затем в Тюмени. Скончался в 1987 году.
Награждён орденом Отечественной войны 1-й степени и рядом медалей.
На доме, в котором проживал Герой установлена мемориальная доска. В его честь названа улица в Тюмени.