Родился 6 июля 1947 года в Тюмени. Окончил Тюменское музыкальное училище в 1966 году и в 1970 году факультет иностранных языков Тюменского государственного педагогического института. Преподавал в институте, работал на Тюменском Севере в поселке Пионерский Советского района преподавателем немецкого языка и музыки. Вернувшись в Тюмень, стал работать в Тюменском русском народном оркестре, играл партию первого баяна.
Увлечение музыкой началось у Александра Ефимовича с домашнего патефона. В семье часто слушали оперные арии, романсы, произведения Чайковского, Шопена. Ещё учась в музыкальном училище, будущий маэстро поступил в педагогический институт и сумел совместить учёбу в вузе и в училище, уже играя партию первого баяна в оркестре у Леонида Беззубова. В 1969 году, когда оркестру исполнилось 10 лет, состоялся первый выход маэстро к дирижёрскому пульту на концерте.
В 1969 году оркестр первым из тюменских коллективов выехал на зарубежные гастроли в Польшу. Под управлением Андрюшкина он стал лауреатом всероссийских и международных конкурсов и фестивалей, объехал с гастролями всю страну, представил Тюменскую область и Россию за рубежом – в Польше, Югославии, Тунисе. Коллектив работал с народными артистами СССР Людмилой Зыкиной и Владиславом Пьявко, народным артистом России и Татарстана Ренатом Ибрагимовым, солистом миланской оперы «Ла Скала» Мауро Аугустини. А в 2000 году оркестр побывал на международном фестивале «Русское чудо в Тунисе» и стал его лауреатом.
Большой вклад Андрюшкин внес в музыкальное воспитание подрастающего поколения. Дирижер пропагандировал исполнительство на русских народных инструментах, организовывал концерты оркестра для школьников. Для этого даже была разработана отдельная программа «Будем знакомы», которая проводит ребят в удивительный мир музыки. Для старшеклассников предназначены программы, посвященные творчеству А.С. Пушкина «Я помню чудное мгновенье», «Одна любовь души моей».
Пристальное внимание Александр Ефимович уделял и работе с молодыми солистами оркестра. Постоянные репетиции помогали начинающим специалистам совершенствовать свои навыки и выходить на новые уровни осмысления оркестровой музыки. Благодаря таким непомерным усилиям, оркестр и на сегодняшний день остается востребованным, постоянно участвует в культурной жизни не только города, но и области. Оркестр много гастролирует по стране и миру, сотрудничает с известными звездами русской и зарубежной сцены. Среди них Людмила Зыкина, Николай Калинин, Вячеслав Пьявко, Мауро Аугустини и множество других не менее известных личностей.
Александр Ефимович Андрюшкин – Заслуженный работник культуры РФ, Лауреат премии Министерства культуры РФ «Душа России» (2002), Лауреат областной премии им В. И. Муравленко (2002), Лауреат проекта «Социальная Звезда» (2004).