Родился 1 (14) марта 1890 года в Тюмени. Работал слесарем в кустарной мастерской, ремонтником паровозов в депо, в пароходстве А. И. Текутьева, машинистом на мельнице в Новой Заимке. Участвовал в Первой мировой войне. В 1920 году прослушал курс лекций на первых восьмимесячных Технических курсах для квалифицированных рабочих-металлистов, после трудился механиком в Тюмени и районах Тюменской области.
В 1948 году Алексей Григорьевич работал на монтаже колхозной электростанции (с. Лепиха Упоровского района). В начале пятидесятых он преподносит тюменской прессе информационный повод, починив стоявшие со времен гражданской войны часы (см. Тюменские куранты) на здании областного краеведческого музея. Часы пошли 7 января 1953 года, но Галкин не успокоился. В ноябре 1959 года он пишет в «Тюменской правде»: «... шесть лет тому назад мне удалось восстановить ходовую часть часов, а затем и сложный механизм курантов. Часы сейчас идут и показывают точное время. А вот звон курантов не раздается: нет колоколов. При желании, дирекция областного музея могла найти средства на восстановление вышки и приобретение колоколов. Кстати, колокола можно отлить на одном из заводов из цветного металлолома».
Незадолго до пенсии Алексей Григорьевич увлекся живописью. Он рисовал Тюмень, ее улицы, вывески, верфи и церкви. На первых своих полотнах (до 1960 г.) оставлял подпись «Механик Галкин». Художник использовал открытый цвет, не смешивал красок, не заботился о сохранности своих произведений. Не редко только что написанные картины дарил знакомым. Он превратил свои квадратные метры в «Третьяковку», и быстро вошел в число «самодеятельных» художников, часто выставлявшихся в те годы в Тюмени. Пик участия Галкина в выставках приходится на 1965-1967 годы. Однако его персональная экспозиция прошла еще и в 1972 году в кинотеатре «Темп».
Уже будучи на пенсии он долго работал в краеведческом музее, следил за часами и удовлетворял, по-видимому, свои краеведческие интересы. В 1977 году Алексей Григорьевич отошел от дел.
К сожалению точная дата его смерти не известна.
