Родился 9 августа 1930 года в городе Тюмени. После окончания школы № 25 поступил в Свердловский медицинский институт, но желание петь победило. У Юрия Александровича не было систематического музыкального образования, поэтому сначала его зачислили на вечернее отделение Уральской консерватории им. М. Мусоргского, затем приняли на дневное отделение. Учился по классу пения Ф. И. Образцовской. После окончания консерватории в 1954 году, Юрия Гуляева приняли в труппу Свердловского оперного театра (1954-1956).
Исполнить партии первого баритона Гуляева пригласили в Донецкий оперный театр (1956-1960). Обладая великолепным, неповторимым по тембру голосом, лирическим обаянием, прекрасными внешними данными – Юрий Гуляев стал одним из самых любимых певцов Советского Союза. Значительно расширился репертуар артиста в Киевском театре (1960-1975).
В 1975 году Юрий Гуляев был зачислен в труппу Государственного академического Большого театра СССР, где он пел все заглавные партии баритона. За годы работы на сцене им созданы многие незабываемые образы в спектаклях советских авторов, отечественных и зарубежных композиторов. Он часто выступал с гастролями по всей стране и заграницей. Искусство Юрия Гуляева как оперного певца и как концертного исполнителя было широко популярно, его знали, им восхищались. Он также исполнял сочинения мастеров песенного жанра – Пахмутовой, Фельцмана, Островского, Френкеля, Таривердиева и др. Но главным для него по-прежнему оставалось оперное искусство. Алеко из оперы Рахманинова, Фигаро («Севильский цирюльник»), Эскамильо («Кармен») и другие партии отмечены его индивидуальностью, редким артистизмом, светлым лирическим тембром его голоса. Образ Евгения Онегина занимал особое место в его творчестве. Кроме владения высочайшей вокальной техникой, Гуляев обладал и драматическим талантом. Доводя исполнение партии до канонической отточенности, он никогда не повторял ее буквально, постоянно находя новые краски и оттенки.
Гуляев заслуженно считался одним из ведущих пропагандистов музыкальной культуры. Концертные сезоны не раз приносили ему выдающийся успех в камерном репертуаре. Романсы, русские и украинские народные песни в его исполнении до сих пор пользуются популярностью. В каждом из произведений он стремился создать законченную сценку, воплотить психологически достоверный персонаж, наделить его индивидуализированными чертами.
Исполнение Гуляевым многих романсов будет долгие годы считаться эталонным. Юрий Гуляев известен также и как композитор – он сочинил около 60 песен. Многие из них известны и популярны и сегодня. Это «Желаю Вам», «Воспоминания о полковом оркестре» на стихи Р. Рождественского, «Дорогая, сядем рядом» на стихи С. Есенина и др. Вокальный цикл песен А. Пахмутовой на слова Н. Добронравова «Созвездие Гагарина», в который вошли песни «Знаете, каким он парнем был», «Как нас Юра в полет провожал», «Запевала звездных дорог», создавался специально для певца.
Награжден орденами Трудового Красного Знамени и Дружбы народов, золотой медалью на VII Всемирном фестивале молодежи и студентов в Вене. В 1968 году ему присвоено звание народного артиста Советского Союза. В 1975 году стал Лауреатом Государственной премии СССР.
В 1993 году концертному залу Тюменской филармонии присвоено имя Юрия Гуляева. Барельеф с изображением Ю. Гуляева работы скульптора Н. В. Распопова украшает главный вход филармонии; в фойе второго этажа установлен мраморный бюст певца. В 1993 и 1997 годах состоялись I и II Всероссийский открытый конкурсы оперных певцов имени народного артиста СССР Юрия Александровича Гуляева.
Звание «Почетный гражданин города Тюмени» присвоено в 2005 году. Памятная доска Юрию Гуляеву установлена на фасаде здания школы, где учился певец. Также мемориальная доска установлена на фасаде Тюменской филармонии. Имя народного артиста СССР носит одна из улиц Тюмени.