Родился в Таганроге Ростовской области. Рисовать учился в изостудии Г. И. Черных, брал уроки живописи в студии имени Грекова, у военного художника М. Н. Дамащенко. Получил среднетехническое образование. Окончил Ростовское художественное училище.
После окончания училища два года трудился членом художественного совета города Нижневартовска, а в 1980-х годах перебрался в Тюмень.
Анатолий Филиппович работает во многих живописных техниках. Темы и объекты его полотен разнообразны и многожанровы. Это – пейзаж, натюрморт, сюжетно-тематические картины, портреты, иконопись. На своих полотнах художник отображает городские пейзажи Таганрога, Тюмени, Тобольска, уголки удивительно красивой природы, храмы. Картины Анатолия Квасневского пропитаны особым настроением, которое передается зрителю.
Картины Анатолия Филипповича демонстрировались на городских и областных выставках. Персональные выставки художника неоднократно устраивались в учебных заведениях, организациях и предприятиях города, а также за рубежом: в Турции, Германии, Канаде, США.
Член Союза художников России с 2007 года, член Международной ассоциации изобразительного искусства АИАП ЮНЕСКО.В последние годы Анатолий Квасневский работал над иконами и иконостасами. Его произведения – иконостасы в Тюмени (Храм во имя святого Николая Чудотворца), Ялуторовске, деревнях Петелино, Романово, Криволукской, Заводопетровском Ялуторовского района, Иваново, Шабалино Армизонского района, Луговом, Кулаково. Подарком для детской воскресной школы Никольского храма стали картины, написанные на библейские сюжеты.
Ушел из жизни 14 августа 2019 года.
