Родился 25 января 1949 года в Тюмени. В школьные годы занимался в театральном кружке. После окончания Тюменского государственного института искусств и культуры работал в Челябинском театре драмы, Тюменском драматическом театре. С 1975 года – руководитель студенческого клуба в Тюменском индустриальном институте. 1979 год принес актеру огромное количество ролей сразу в двух театрах: Архангельском драматическом театре и Северо-Казахстанском областном драматическом театре. Но уже в 1984 году актер снова вернулся в Тюменский драматический театр, а с 1991 года вновь возглавил студенческий театр в Тюменском индустриальном институте.
В 1993 году вместе с Виктором Загоруйко основал молодёжный театр «Ангажемент» и до сих пор является его художественным руководителем, а с 2005 года – директором. Играет в спектаклях «Дорога к дому», «Вечера на хуторе близ Диканьки», «Очень простая история», «Комната смеха», «Носферату», «Птица Феникс» и другие.
Впервые Окунев снялся в кино в 1968 году в эпизодической роли в фильме «Пассажир с «Экватора». Первая серьёзная роль в кино – короткометражный фильм «Завоеватель» Владимира Хотиненко (1980). В 2000 году ему досталась небольшая, но весьма весомая по сюжету роль тренера в картине «Игра на вылет». В 2003 году сыграл главную роль Сергея в фильме «Правда о щелпах» и был удостоен приза за лучшую мужскую роль на ХIV кинофестивале «Кинотавр» вместе с партнерами по фильму Камилем Тукаевым и Алексеем Шляминым. Удачной оказалась и работа в короткометражном фильме режиссера Владимира Котта «Дверь» (2004). Критики приняли картину восторженно, она «проехала» все европейские кинофестивали, завоевала множество наград.
В 2005 году Леонид Окунев с удовольствием принял предложение молодого режиссера Ульяны Шилковой сыграть главную роль Михаила Самуэловича Паниковского в ленте «Золотой теленок».
В 2006 году Окунев талантливо отработал роли Додика в ленте «Точка» и Тавро в картине «Печорин. Герой нашего времени».
В 2007 году в Москве состоялся премьерный показ нового фильма Ульяны Шилкиной «Экватор», где Окуневу досталась роль прапорщика Ильича. В фильме были задействованы только три российских актера: Леонид Окунев, Петр Томашевский и Артем Чилек, другие же роли сыграли кенийские и австралийские актеры. Леонид Окунев брался за любую предоставленную ему роль, будь то даже небольшой эпизод. Так актер с присущим ему блеском появился в эпизодической роли в картине «Ночные сестры» (отец Марины), ленте «Наследники», фильме «Апостол» (Аросев).
По словам Леонида Окунева, «кинематограф предоставлял ему не только гонорары, но и давал возможность совершенствоваться как актеру и знакомиться с опытом коллег». В 2009 году с участием Леонида Окунева на экраны вышло два фильма. В телесериале режиссера Юрия Мороза «Пелагия и белый бульдог» актер с блеском исполнил роль Доната Абрамовича Сытникова. Также актер сыграл вместе с питерской актрисой Наташей Сурковой в картине «Братья Карамазовы» Юрия Мороза. На сей раз партнерами известного актера стали не менее именитые российские актеры – Анатолий Белый, Александр Голубев, Сергей Горобченко и Андрей Ильин.Несмотря на занятость в кино и телесериалах, Окунев живёт в Тюмени.
В 2019 году присвоено звание «Почетного работника культуры и искусства Тюменской области».
1 июля 2022 года Леониду Григорьевичу присвоили звание Почетного гражданина города Тюмени. В 2023 году получил национальную актерскую премию «Фигаро».
