Родился 7 мая 1929 года в Баку. Потомственный музыкант, правнук великого композитора, пианиста и дирижера, основателя Петербургской консерватории и Русского музыкального общества Антона Рубинштейна.
Отец хотел сделать из Антона пианиста, однако в девять лет он самовольно перешёл на скрипку. Окончил Центральную музыкальную школу в Москве. Затем Московскую консерваторию. Занимался дирижированием у Николая Аносова. Со скрипкой никогда не расставался.
В творческой биографии Антона Георгиевича – совместные выступления с С. Рихтером, М. Ростроповичем, Д. Башкировым, Н. Гутман, Г. Соколовым, Д. Мацуевым, Д. Шафраном, Е. Нестеренко. Ему доверяли инструменты из госколлекции, например, скрипку Николо Амати – учителя Страдивари.
Первые дирижерские уроки взял в 17 лет. Было несколько небезуспешных попыток дирижирования в Москве. А когда осознал, что это по плечу, отправился в Киев, чтобы сформировать там камерный оркестр. Спустя полгода после его создания на концерт приехал отец. Он не скрывал своего разочарования: «Что ты натворил?! Одна нота, которую ты берешь на скрипке, стоит больше, чем весь твой оркестр». Однако спустя время Киевский камерный признал весь мир, отец – тоже.
В дирижерском репертуаре Шароева более 100 программ: от редкоисполняемых баховских циклов «Искусство фуги», «Музыкальное приношение», Брандербургские концерты до Стравинского, Шостаковича, Прокофьева, Щедрина, Шнитке.
Антон Шароев связан с Тюменью более 25 лет. Его отношения с городом, который он теперь называет малой родиной, складывались непросто, порой драматично. Всё началось в 1987 году, когда начинающий художественный руководитель Тюменской филармонии Михаил Бирман затеял «Алябьевскую музыкальную осень» – фестиваль по случаю 200-летия со дня рождения нашего земляка композитора А. Алябьева.
На открытие был приглашён Московский оркестр камерной музыки под управлением заслуженного деятеля искусств Украины Антона Шароева, который выступал ещё и как солист. Рука маэстро оказалась лёгкой: фестиваль превратился в ежегодный музыкальный форум с обширной географией участников, богатейшей стилевой и жанровой палитрой. Но, что более важно, состоялась поистине судьбоносная встреча двух замечательных музыкантов, «мужественных романтиков», оказавшихся удивительно близкими по духу, манере мышления, стремлению к масштабному прочтению музыки. Дуэт скрипача Шароева и пианиста Бирмана успешно гастролировал в Тюмени и области, городах России, Европы, США. Его уникальность заключалась в том, что музыканты никогда не договаривались, как будут играть то или иное произведение: музыка рождалась здесь и сейчас, на репетиции, на концерте.
Творческая биография заслуженного деятеля искусств России и Украины наполнена профессиональными успехами, замечательными событиями и встречами. К числу величайших событий в жизни Антона Шароева можно отнести открытие неисполняемой и малоизвестной в России духовной оперы А. Рубинштейна «Христос», которая, благодаря его подвижнической деятельности, была исполнена в Тюмени, Москве, Санкт-Петербурге, Риге, Таллинне.
1948-1956 годах играл вторую скрипку в Квартете имени Чайковского вместе с Юлианом Ситковецким, Рудольфом Баршаем и Яковом Слободкиным.
1956-1957 – педагог по классу струнного квартета Московского городского музыкального училища.
1957-1963 – скрипач-солист Всероссийского гастрольно-концертного объединения.
1963-1969 годах и затем вновь в 1976-1987 – возглавлял Киевский камерный оркестр.
1987-1990 – главный дирижер, художественный руководитель оркестра каменой музыки артиста инструментального жанра государственного объединения «Росконцерт».
1992 – педагог по классу скрипки в Центральной средне-специальной музыкальной школе при консерватории им. П. И. Чайковского.
1993-1996 – художественный руководитель и дирижер камерного оркестра региональной концертной компании «Тюменьконцерт».
1996-1998 – артист-солист.
1996 – главный дирижер, художественный руководитель оркестра Тюменской государственной филармонии.
Антон Георгиевич создал с нуля семь оркестров. «Камерата Сибири» – седьмой по счету. Меньше чем через два года после создания, оркестр выступал в Москве в зале имени Чайковского. Успех был потрясающий. Широкий резонанс получили осуществлённые Шароевым концертные исполнения забытой оперы Дмитрия Бортнянского «Алкид» (1984, Киев) и духовной оперы Антона Рубинштейна «Христос» (2001, Тюмень). 12 декабря 2008 года в Перми прошла мировая сценическая премьера этого произведения.
Лауреат международного конкурса скрипачей в Праге, III Биеннале современной музыки в Берлине. Выступал с Пекинским, Новосибирским симфоническими оркестрами, с греческим «Виртуозы Патры», екатеринбургским «BACH», Петербургским, Минским, Вильнюсским камерными оркестрами. Заслуженный деятель искусств России и Украины. Награжден орденом Дружбы. За выдающееся дирижерское выступление на всемирном музыкальном фестивале «Пражская весна» был увенчан Лавровым венком. За заслуги в просвещении, образовании, воспитании и культуре награжден медалью святителя Филофея.
В 2021 году Антон Георгиевич ушел из жизни.