Родился 8 (20) февраля 1868 года в Тюмени. Имя Алексея Афромеева довольно часто встречается в статьях по истории русской музыки. Талантливый гитарист и педагог, он более десяти лет выпускал в Тюмени пять газет и журналов, был владельцем книжного магазина «Сибирская лира».
В 1899-1906 годы Алексей Максимович служит бухгалтером в Тюменской городской управе, а затем занимается издательской деятельностью. Благодаря ему, Тюмень становится одним из ведущих центров музыкальной культуры в стране, единственным городом России, где широко пропагандируется искусство игры на гитаре. В конце XIX века вся музыкальная торговля Тюмени сосредоточена в руках Алексея Афромеева. Его магазин был расположен в самом центре города, на Царской улице, в одноэтажном каменном особняке.
В январе 1906 года Алексей Максимович начинает выпуск журнала «Гитарист», посвященный игре на семиструнной гитаре. Впоследствии «Гитарист» сменил название на «Музыка гитариста». В журнале публиковались статьи по технике игры, музыкальному самообразованию, исторические очерки, биографии музыкантов. В качестве приложения к журналу выходили ноты.
Афромеев печатал и рассылал подписчикам большое количество сборников нот и уроков игры на гитаре: «Спутник гитариста», «Юный гитарист», «Первый шаг гитариста», «Выбор лучших и любимых пьес для семиструнной гитары» и др.
В своей типографии Алексей Максимович выпускал также газеты «Сибирский торговый посредник», «Ермак», в которых освещалась уже не только музыкальная, но и общественно-политическая жизнь Тюмени.За острые критические выступления газету «Ермак» закрыли, а издателя сослали в Сургут. Но он быстро вернулся и возобновил издание газеты, назвав ее «Свободное слово». Первый номер вышел в мае 1917 года. Эта газета была примечательна тем, что в ней, не придерживаясь какой-либо определенной политической ориентации, Афромеев довольно резко критиковал действия Советской власти, за что уже в ноябре решением собрания рабочих и солдат города публикация газеты была прекращена.
В 1919 году Афромеев эвакуирован с войсками А. В. Колчака в Томск, при этом погибла его огромная коллекция музыкальных инструментов и старинных рукописей. В 1920 году мобилизован большевиками на заготовку леса, где простудился и умер 18 сентября 1920 года.