Родился в Екатеринбурге в семье мещан. Род Аверкиевых принадлежал к древней православной вере – старообрядцам. Имя Андрея Федотовича часто упоминается в официальных документах городской Думы.
Жил в Тюмени и активно участвовал в жизни городского сообщества. Уже с 1883 года входил в Тюменское вольное пожарное общество, избирался гласным Тюменской городской Думы, помогал настоятелю прихода в управлении имуществом единоверческой Троицкой церкви, состоял в попечительском совете женской гимназии, а с 1913 по 1915 год был его председателем. Как член комитета по наблюдению за всеми городскими постройками Андрей Федотович входил в комиссию по постройке моста на улице Голицинской (теперь – Первомайская), о чем свидетельствует архивная запись из Журнала Тюменской городской думы за 1908 год.
Андрей Федотович Аверкиев, купец II гильдии. Владел двумя магазинами в Тюмени, в которых продавались гастрономические, бакалейные, канцелярские, парфюмерные товары. Особым спросом пользовались колониальные товары – продукты питания из южных колоний западноевропейских стран: кофе, какао, цитрусовые и др.
В 1913-1916 годы Андрей Федотович занимал должность директора Тюменского Общественного банка, который располагался в его доме на углу улиц Царской (теперь – Республики) и Войновской (теперь – Кирова). Сейчас в нем расположен Тюменский государственный институт культуры.
Дом строился в конце XIX века, в то время, когда Тюмень утвердилась в статусе крупного торгово-финансового центра Западной Сибири и современная улица Республики активно перестраивалась.
Андрей Федотович был дважды женат. Первый брак (1896 г.) с Марией Васильевной Копыловой, дочерью тюменского купца Василия Копылова. Она умерла от чахотки на 21 году жизни в 1900 году. Ее каменное надгробие сохранилось на Текутьевском кладбище, рядом с захоронением ее матери Марии Николаевны Копыловой. Их дочь Лидия прожила всего девять лет.
Во втором браке с шадринской купеческой дочерью Еленой Акимовной Треуховой родились: дочь Александра (1906-1907), сын Георгий (1909-1941) и две дочери Антонина (1911-?) и Лидия (1913-?).
Елена Акимовна (вторая жена Аверкиева) умерла 12 октября 1922 года. Дочери Антонина и Лидия проживали в Шадринске, на родине своей матери. Сын Георгий арестован УНКВД СССР по Ленинградской области в октябре 1941 года «по обвинению в том, что он является членом контрреволюционной группы, проводящей пораженческую агитацию и ставящей своей целью переход на сторону немецкой армии». Расстрелян Военным трибуналом Ленинградского фронта в ноябре 1941 года. 7 сентября 1989 года Георгий Андреевич был реабилитирован.
В мае 1918 года дом Аверкиева на ул. Республики национализировали, но с приходом к власти 20 мая 1918 года Временного Сибирского Правительства вернули владельцу.
Андрей Федотович Аверкиев ушел из жизни 1 ноября 1918 года. Похоронен в ограде Троицкой единоверческой церкви.
В Тюмени сохранились два дома усадьбы, принадлежавшие Владимиру Федотовичу Аверкиеву, младшему брату Андрея Федотовича, по адресу Камышинская/Самарская и Камышинская/Орловская. Дома признаны памятниками истории и культуры.