Родился 23 апреля 1950 года в Тюмени. Окончил Тюменский инженерно-строительный институт, позже Тюменский государственный университет. Трудовой путь начал строительным мастером в 1972 году. Затем стал прорабом участка и начальником ПТО треста СМУ-14 «Тюменьжилстрой» Главтюменьпромстроя.
В 1977 году приехал в Тобольск на строительство нефтехимического комплекса, где работал главным инженером, начальником управления по строительству объектов социального и культурного назначения. В 1980-е годы избирался мэром Тобольска. При Елфимове одну из улиц имени революционера переименовали в улицу Семена Ремезова, закрыли тюрьму в центре города, которая в позднее стала музеем.
В 1981-1986 годы работал начальником производственного отдела, начальником СМУ-10, начальником СМУ КПД, начальником домостроительного комбината Объединения «Тоболпромстрой». Позже Аркадия Григорьевича назначали на должности председателя исполнительного комитета, городского Совета народных депутатов, управляющего директора ТОО «ВСП – Тобольск», директора АОЗТ «Сибирь», директора, председателя правления банка Акционерного коммерческого банка «Тобольск», директора Тобольского филиала ЗАО АКБ «Сибирьгазбанк».
Избирался депутатом областного совета народных депутатов ХХ-ХХI созывов и депутатом Тобольской городской Думы. С 2015 года Аркадий Григорьевич Почетный член Российской академии художеств.
В студенческие годы ежедневно обходил книжные, букинистические магазины, собирал личную библиотеку, интересовался жизнью музеев. В 1994 году Аркадий Елфимов организовал президиум Тюменского регионального общественного благотворительного фонда «Возрождение Тобольска» и стал его председателем. Работа фонда неоднократно отмечена высокими наградами.
Аркадий Елфимов – автор и инициатор проекта «Тобольск и вся Сибирь». В этой серии вышли в свет восемь альманахов – «Тобольск», «Сургут», «Томск», «Тюмень», «Лукоморье», «Югра», «Омск», «Красноярск» и тд. Большую часть тиража передали библиотеки Тюменской области, в библиотеки сибирских городов, которым посвящены книги.
Благодаря Елфимову изданы труды тобольского картографа и зодчего XVII в. Семена Ремезова. Красочный фолиант «Чертежная книга Сибири» занял почетное место в библиотеках области.
Издатель работает над созданием и популяризацией исторических и культурных памятников, музеев и музейных коллекций города Тобольска, переиздает раритетные книги, которые рассказывают о прошлом Тобольска и его жителях. Передал Тобольскому государственному музею-заповеднику собственную коллекцию произведений искусства.
Аркадий Григорьевич – многогранная личность. Известен и как художник-фотограф. В Тюмени с успехом прошла фотовыставка «Очарование камня», в которой автор рассказывает о природе Полярного Урала.
Интерес к корням побудил Аркадия Григорьевича заняться историей предков. Так, в 2007 году появилась «Родословная книга: Елфимовы, Берсеневы», которая раскрывает сибирское крестьянское прошлое мецената и бизнесмена Елфимова, начиная с 1600 года.
Награжден Золотой медалью Российской Академии Художеств в 2014 году.