Родился 17 сентября 1938 года на станции Ушумун Амурской области. Трудился в колхозе, был рабочим ремонтно-строительной бригады, резчиком слюды на слюдяной фабрике. В это же время окончил вечернюю школу рабочей молодежи.
В 1961 году с отличием окончил агрономический факультет Иркутского сельскохозяйственного института и стал главным агрономом колхоза имени Ленина Иркутской области.
Начиная с 1963 года, Геннадий Филиппович находился на комсомольской работе в Иркутске и Москве. После окончания аспирантуры Иркутского государственного университета в 1969 году защитил кандидатскую диссертацию. Затем работал в Иркутском педагогическом институте старшим преподавателем, доцентом кафедры философии, деканом факультета английского языка. Организовал в институте первую в Восточной Сибири лабораторию социологических исследований.
Четыре года, с 1976 по 1980, Геннадий Куцев трудился в Красноярском государственном университете. Здесь он занимал должности заведующего кафедрой философии и проректора по учебной работе. В декабре 1978 года защитил диссертацию на соискание ученой степени доктора философских наук, а в 1980 году ему было присвоено ученое звание профессора.
Ректором Тюменского государственного университета профессор Куцев стал в ноябре 1981 года. Через шесть лет переведен на работу в Министерство среднего специального и высшего образования РСФСР на должность заместителя министра. С 1988 по 1991 годы работал заместителем Председателя Государственного комитета СССР по народному образованию. В период распада СССР был заведующим кафедры философии и социологии Тимирязевской сельскохозяйственной академии. Уже в 1992 году вновь избран ректором Тюменского государственного университета, переизбираясь на эту должность в 1997 и 2002 годах.
С 2007 по 2012 годы работал в должности президента Тюменского государственного университета и по совместительству профессором-консультантом кафедры общей и экономической социологии.
Профессор Куцев награжден орденом «За заслуги перед Отечеством» IV степени, орденом Почета, медалью «За освоение недр и развитие нефтегазового комплекса Западной Сибири», медалью К. Д. Ушинского, орденом М. В. Ломоносова, серебряной медалью Питирима Сорокина. Удостоен званий «Заслуженный деятель науки Российской Федерации», «Почетный доктор общественных наук Вулверхемптонского университета» (Великобритания), «Почетный доктор Даугавпилского университета» (Латвия), почетными грамотами Министерства общего и профессионального образования РФ, Тюменской областной Думы, Главы города Тюмени.
Является председателем диссертационного совета по социологии, председателем Общественного совета при Департаменте образования и науки Тюменской области, председателем общественной организации «Тюменское областное отделение Российской академии социальных наук», членом Исполкома Общественной палаты Тюменской области, главным редактором научного журнала «Вестник Тюменского государственного университета. Социально-экономические и правовые исследования», членом редакционной коллегии научных журналов «Высшее образование сегодня», «Регионоведение», «Университетское управление: практика и анализ», членом Российского союза писателей. Главный редактор «Большой Тюменской энциклопедии».
Опубликовал более 80 научных работ по социологии. Автор одного из первых в России электронных учебников «Основы социологии».
Звание «Почетный гражданин города Тюмени» присвоено в 1999 году.
Ушел из жизни 9 октября 2020 года.
В 2023 году на фасаде здания Библиотечно-музейного комплекса ТюмГУ Геннадию Филипповичу установили мемориальную доску.