Родился 7 октября в селе Красилово Красиловского района Хмельницкой области в Украине в семье военного летчика. Старшие классы окончил в школе рабочей молодежи. В это же время работал препаратором кафедры инфекционных болезней Воронежского медицинского института. В 1971 году получив специальность «лечебное дело», два года учился в клинической ординатуре того же вуза.
Трудовой путь Эдуард Алексеевич начал в 1973 году врачом инфекционной больницы в Воронеже. В 1978 году переехал в Тюмень и стал работать в инфекционной больнице и преподавать в Тюменском государственном медицинском институте. Врач стоял у истоков создания иммунологической лаборатории при вузе. Здесь написал и защитил докторскую диссертацию, основал и возглавил кафедру детских инфекций.
Кашуба был ассистентом, заведующим кафедрой инфекционных болезней, проректором по научной работеТюменского государственного медицинского института. С 1995 по 1998 годы руководил медико-санитарной частью ЗАО «Главтюменнефтегаз».
С 1998 по 2013 гг. – ректор Тюменской государственной медицинской академии.
Доктор медицинских наук с 1986 г. Ученое звание профессора присвоено в 1988 г.
Член ученого совета Южно-Уральского научного центра РАМН, руководитель Проблемной научно-исследовательской лаборатории экологической и клинической иммунологии ТО ЮУНЦ РАМН.
Эдуард Алексеевич известный ученый в области прикладной иммунологии и механизмов адаптации организма человека при заболеваниях с воспалительным компонентом разной этиологии. Заслуженный деятель наук РФ. Автор семи монографий, двух учебников, свыше 250 печатных работ. Имеет пять авторских свидетельств и патентов на изобретения.