Родился 21 июля в Омске. С ранних лет занимался спортом. Профессиональный хоккеист. В 1986 году окончил отделение журналистики филологического факультета Тюменского государственного университета. Десять лет отыграл в нападении в хоккейной команде «Рубин». В 1992-1993 годах входил в состав профессиональной хоккейной команды «Anchorage Aces», США. После завершения спортивной карьеры работал в ГТРК «Регион-Тюмень» корреспондентом, редактором и спортивным комментатором.
Журналистике юноша учился у известных тюменских режиссеров и журналистов – Валентина Угрюмова, Анатолия Туринцева, Виктора Строгальщикова, Виктора Карачева, Александра Швецова, Леонида Иванова. Позже на Мосфильме перенимал опыт у режиссера Георгия Данелия и его коллег по творческому объединению «Ритм».
В 1992 году Константин организовал собственную телестудию «Прессинг». Первым документальным фильмом стала картина «Золотой мальчик» о Константине Цзю. Когда Цзю стал чемпионом мира среди профессионалов, картину показали по ОРТ, а Одегов снял новые фильмы о боксере «Профессионал» (1998) и «Чемпион» (2003). Так лента стала трилогией.
В художественном кино Константин Владимирович дебютировал в 2000 году. Тогда вышел в свет фильм «Игра на вылет», по мотивам повести Юрия Полякова «Небо падших». В этой ленте Одегов был сценаристом, режиссером, исполнителем главной роли и продюсером. В 2005 году выла картина «Парижская любовь Кости Гуманкова» по произведению того же автора.
Творчество Константина Одегова высоко оценили и специалисты, и простые зрители. В его фильмах снимались Любовь Полищук, Александр Домогаров, Леонид Куравлев, Владимир Толоконников, французская актриса Мишель Мерсье и другие.
Большой популярностью у тюменских зрителей пользовался кинофильм «Наследники», снятый в 2008 году. Это экранизация известного произведения Сергея Козлова «Мальчик без шпаги». Картина стала лауреатом ряда отечественных и зарубежных кинофестивалей.
2014 год ознаменовался выходом фильма «Триста лет одиночества». Картина рассказывает о знаменитом путешественнике Федоре Конюхове.
Награжден дипломом XII Всероссийского Шукшинского кинофестиваля за утверждение нравственных ценностей в современном кинематографе (2010).