Родился 17 марта 1906 года в деревне Касуличи Карачаевского уезда Орловской губернии. Участник Великой Отечественной войны. Организатор нефтяного строительства в Западной Сибири, руководитель первого строительного главка «Главтюменнефтегазстроя» с 1965 года. В 1070 году командирован в Ирак главным советским специалистом на нефтепромыслы «Северная Румейла».
Алексей Сергеевич – основоположник прочного фундамента становления и развития ведущих отраслей Западной Сибири. Стоял у истоков создания базы строительной индустрии округа, в кратчайшие исторические промежутки времени развернув уникальное в мировой практике грандиозное капитальное строительство в сложных природно-климатических условиях. На огромной территории совершенно не обжитого региона с нуля вёл застройку новых городов: Надым, Нефтеюганск, Нижневартовск, Сургут, Урай. Обеспечил опережающее освоение нефтяных и газовых месторождений, досрочный ввод в эксплуатацию магистральных нефте- и газопроводов, создавая необходимую социально-бытовую обстановку для нефтяников, газовиков, геологов, строителей. Один из основателей комплектно-блочного метода строительства в Сибири, которому не было аналогов.
За опыт и мудрость, молодые коллеги называли его между собой Дедом. Ребята, которых воспитал Барсуков, нашли свое место в жизни.
Является кавалером орденов Ленина, Трудового Красного Знамени, Красной Звезды, «Знак Почёта». Награждён высшим орденом Ирака – орденом Двуречья, многими медалями. Заслуженный строитель РСФСР.
Именем Алексея Барсукова названо месторождение в Ямало-Ненецком автономном округе. В Тюмени открыта мемориальная доска.