Во время учёбы, в1962 году, Анатолий направлен на практику в Тюменскую область в Усть-Балыкскую нефтеразведочную экспедицию. Эта поездка определила дальнейший трудовой путь. По окончании института он вернулся и прошел путь от техника-геолога до старшего геолога нефтеразведочной экспедиции. В 1966 году молодого специалиста назначили начальником геологического отдела на Ямал, где была создана Новопортовская экспедиция, а уже через два года он стал ее главным геологом.
В 1970 году Анатолий Брехунцов заступает также на должность главного геолога, но уже Тазовской нефтеразведочной экспедиции, принимает участие в разведке уникального Ямбургского месторождения. В 1976 году в Лабытнангах назначен главным геологом производственного объединения «Ямалнефтегазгеология». С 1978 года начинается его «уренгойский» период – Анатолий Михайлович становится главным геологом производственного объединения «Уренгойнефтегазгеология». Затем работает в Тюменском Обкоме КПСС в отделе нефтяной и газовой промышленности и геологии. А в 1984 году Анатолий Михайлович возвращается в Уренгой уже генеральным директором «Уренгойнефтегазгеологии» и выводит предприятие на высочайший уровень производительности. Под его руководством геологоразведчики подготовили для страны триллионы кубических метров запасов природного газа, сотни миллионов тонн конденсата и нефти. Объем бурения достигал 200 тысяч метров поисково-разведочных скважин в год, количество пробуренных за год скважин доходило до 80.
В 1987 году Анатолия Брехунцова переводят главным геологом по нефти и газу – заместителем начальника Главтюменьгеологии, концерна «Тюменьгеология».
Конец 1990-х годов был очень тяжелим для геологов и для геологии в целом. Прекратил своё существование и легендарный главк. Система разрушилась, но остались хорошо отлаженные взаимоотношения между людьми, к тому же функции, возложенные на Главтюменьгеологию по вопросам недропользования, оставались востребованными. Тогда и возникла идея создания АООТ «Сибирская нефтяная корпорация».
В конце 1996 года Анатолий Михайлович создаёт редкую геологическую структуру, которая могла стать полезной добывающим компаниям – ОАО «Сибирский научно-аналитический центр». Исследования возглавляемого им научно-аналитического центра (СибНАЦ) направлены на реализацию научных программ по комплексному геолого-геофизическому изучению недр на нефть и газ и тесно связаны с решением задач по оценке ресурсной базы углеводородного сырья субъектов Российской Федерации.
Анатолий Михайлович – крупный специалист в области геологии нефти и газа. Один из организаторов геологоразведочных работ в Западной Сибири. Обладает обширными знаниями в смежных областях: геофизике, бурении, минералогии, нефтегазодобыче, транспортировке и переработке нефтепродуктов.
Принимал участие в открытии десятков нефтяных месторождений, в том числе Мамонтовского, Новопортовского, Русского, Усть-Балыкского, Южно-Балыкского; газовых месторождений: Заполярного, Уренгойского, Ямбургского и других.
Принимал непосредственное участие в открытии десятков нефтяных месторождений, в том числе Мамонтовского, Новопортовского, Русского, Усть-Балыкского, Южно-Балыкского; газовых месторождений: Заполярного, Уренгойского, Ямбургского и других.
В 2000 году на Ямале под руководством А.М. Брехунцова создан уникальный объект – территориальный банк данных первичной геолого-геофизической и промысловой информации, не имеющий аналогов в России.
Анатолий Михайлович непосредственно участвует в исследовательских работах, имеет более 150 публикаций, в том числе монографию «Развитие теории фильтрации жидкости и газа к горизонтальным стволам скважин».
Лауреат Государственной премии СССР 1984 года в области науки и техники.
Награжден орденами Трудового Красного Знамени (1975), Дружбы народов (1983), Почета (2007), медалями «За доблестный труд. В ознаменование 100-летия со дня рождения В.И. Ленина» (1970), «За освоение недр и развитие нефтегазового комплекса Западной Сибири» (1982), «Геологоразведчикам-первопроходцам Тюменской области, Ханты-Мансийского автономного округа – Югры, Ямало-Ненецкого автономного округа» (2016).
Награжден дипломом и нагрудным знаком «Первооткрыватель месторождения» (1977, Ямбургское). Лауреат Государственной премии СССР в области науки и техники (1984).
Почетные звания «Заслуженный геолог РФ» присвоено в 2002 году, «Почетный гражданин Тюменской области» в 2016 году, «Почетный гражданин ЯНАО» в 2005 году.