Родился 17 сентября 1913 года в Тюмени в семье рабочего. Окончил 7 классов и школу ФЗО, после чего работал мотористом, механиком, водителем автомашины.
Призван в ряды Красной Армии в 1943 году. Был механиком-водителем танка 332-го танкового батальона 52-й гвардейской танковой бригады 6-го гвардейского танкового корпуса 3-й гвардейской танковой армии 1-го Украинского фронта. Борт танка «Т-34», на котором ездил Виктор Бугаев, украшала надпись: «Лихой». При прорыве обороны противника 5 ноября 1943 года, в составе экипажа, совершил рейд в тыл врага в районе села Святошино (Украина), где перерезал шоссе Киев – Житомир. В ночь на 6 ноября 1943 года, в неравном бою, уничтожил танк, три орудия и несколько гитлеровцев.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 10 января 1944 года за образцовое выполнение боевых заданий командования и проявленные при этом мужество и героизм гвардии сержанту Бугаеву Виктору Елисеевичу присвоено звание Героя Советского Союза.
3 апреля 1944 года танкист Виктор Бугаев был удостоен ордена Красной Звезды за проявленные мужество и отвагу по захвату железнодорожной станции Черный Остров. За участие рейда в тыл противника 16 сентября 1944 года награжден медалью «За Отвагу».
После окончания войны Бугаев демобилизован. Проживал в Тюмени, работал механиком в горторге.
Именем Виктора Елисеевича Бугаева в 2002 году названа улица в микрорайоне Казарово. На фасаде дома № 24 по улице Республики, где жил герой, 8 мая 1999 года установлена мемориальная доска.