Родился 5 октября 1921 года в Тюмени. Из семьи служащего. С 1932 года с семьей жил в городе Свердловске, где окончил среднюю школу. В 1939 году поступил в Свердловский горный институт. В сентябре 1939 года призван в Красную Армию на срочную службу, служил в танковых войсках. Окончил школу младших командиров. Затем переведён в ВВС и в 1940 году окончил Челябинское военное авиационное училище лётчиков-наблюдателей.
На фронте – с июня 1941 года. Воевал в составе 511-го бомбардировочного авиационного полка ВВС Западного фронта, штурман экипажа бомбардировщика «ТБ-3». Участвовал в Смоленском оборонительном сражении и в битве за Москву. В апреле 1942 году полк был выведен с фронта, переформирован в 511-й разведывательный авиационный полк. В одном из запасных авиационных полков в Куйбышевской области личный состав прошёл переобучение на самолёты «Пе-2».
Вновь в действующей армии – с июня 1943 года, на Степном и 2-м Украинском (с октября 1943 года) фронтах. Участник Курской битвы, Белгородско-Харьковской и Полтавско-Кременчугской наступательных операций, форсирования Днепра, Нижнеднепровской, Уманско-Ботошанской, Ясско-Кишиневской, Бухарестко-Арадской, Будапештской наступательных операций. Член ВКП(б) с 1943 года.
Старший лётчик-наблюдатель 511-го отдельного разведывательного авиационного полка (5-я воздушная армия, 2-й Украинский фронт) старший лейтенант Опрокиднев Борис Константинович к середине августа 1944 года выполнил 113 боевых вылетов на разведку войск, военных объектов и оборонительных сооружений противника. Сфотографировал 42 409 квадратных километров занятой врагом территории, сбросил свыше 1,6 миллиона листовок. В 5 воздушных боях экипаж сбил 1 истребитель врага. При выполнении боевого задания 2 апреля 1945 года его самолёт был сбит в воздушном бою. К этому дню Борис Опрокиднев выполнил 143 боевых вылета.
Представление командира полка к званию Героя Советского Союза было подписано 16 августа 1944 года, но наградной указ был подписан с большой задержкой.
За мужество и героизм, проявленные на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками, Указом Президиума Верховного Совета СССР от 15 мая 1946 года старшему лейтенанту Опрокидневу Борису Константиновичу присвоено звание Героя Советского Союза.
Похоронен в населённом пункте Пештсентлёринц (юго-восточная окраина Будапешта, Венгрия).
Награждён орденом Ленина (1946), двумя орденами Красного Знамени (1943, 1944), орденами Отечественной войны 1-й (1944) и 2-й (1943) степеней.
Одна из улиц города Тюмени названа именем Бориса Опрокиднева.