Родился в деревне Гусельниковой Тюменского уезда (в настоящее время это место в районе села Кулаково Тюменского района Тюменской области). Трудовой путь начал рабочим совхоза. Участник Великой Отечественной войны в составе Карело-Финского фронта 368-й стрелковой дивизии.
После демобилизации в апреле 1946 года Федор Васильевич стал работать участковым милиции, уполномоченным на Заречном участке Тюмени. Сотрудник постоянно находился на страже покоя и порядка на вверенной территории. За десять лет службы награжден пятнадцатью благодарностями, его фамилию дважды заносили на Доску почета.
1 июля 1956 года во время патрулирования улицы Земляной вал Федор Щербаков услышал крики о помощи. За цехами кожевенного завода три женщины попали в котлован с отходами производства и уже задыхались от ядовитых газовых испарений. Щербаков спустился, обвязал веревкой женщин и помог им выбраться. Самому подняться на верх сил не хватило.
Федор Васильевич похоронен на Текутьевском кладбище. Захоронение не сохранилось.
За героизм и самопожертвование при исполнении служебного долга Указом Президиума Верховного Совета СССР от 22 сентября 1956 года милиционер Щербаков награжден орденом Красной Звезды посмертно.
В 1966 году по ходатайству заместителя начальника УВД Тюменского облисполкома полковника внутренней службы А. И. Сазонова решением Тюменского горисполкома улице Мостовой присвоили имя старшего сержанта милиции Федора Васильевича Щербакова. О чем свидетельствует мемориальная доска.
Награжден орденами «За отвагу», «За оборону Советского Заполярья», «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.», медалью «За боевые заслуги».