Родился 6 августа в селе Ильинка Казанского района Тюменской области в семье крестьянина. С 1930 года жил в поселке Кедровый Ханты-Мансийского района. Окончил семилетнюю школу и ФЗУ, работал помощником машиниста на пароходе.
В 1943 году Алексея призвали в армию. После обучения в артиллерийской школе юношу направили на Брянский фронт.
Во время Великой Отечественной войны сражался в составе 1-го, 2-го Прибалтийских и 3-го Белорусского фронтов.
В августе 1944 года 1-й Прибалтийский фронт продолжал наступление к Рижскому заливу, чтобы разорвать коммуникации Рижской и Курляндской группировок фашистской группы армий «Север». Гитлеровцы любой ценой стремились остановить его и предприняли ряд мощных танковых контрударов в районах латвийских городов Добеле, Жагарэ, Ауцэ и Бауска.
18 августа 1944 года на участок обороны двух дивизионов 1620-го легкого артиллерийского полка фашисты бросили 52 танка. Это случилось у деревни Богачи Добельского района республики Латвия. Орудие старшего сержанта Унжакова атаковали 12 бронированных машин. На полном ходу они били по боевым порядкам артиллеристов.
Во время боя Унжаков подбил четыре танка. Через некоторое время враг возобновил атаку. На Алексея направилось 22 танка и самоходные орудия. Одно орудие разбили, а раненый артиллерист по-пластунски подполз к соседнему, где расчет вышел из строя, и в одиночку открыл огонь. Унжаков подбил еще два танка гитлеровцев и бронемашину, после чего гранатами и автоматными очередями продолжал отбиваться от гитлеровцев, до прихода подкрепления. С поля боя старшего сержанта Унжакова вынесли боевые товарищи.
В тяжелой и неравной схватке Алексей Филиппович уничтожил 4 «пантеры», 2 средних танка, 1 бронемашину и около 50 фашистов.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 марта 1945 года старшему сержанту Унжакову Алексею Филипповичу присвоили звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
После лечения в госпитале Унжаков вернулся в свою часть. Боевой путь герой-артиллерист закончил в мае 1945 года в Восточной Пруссии на берегу Балтийского моря.
В 1946 году Унжаков демобилизовался. Жил в городе Омске. Работал заместителем начальника отдела снабжения завода «Электроточприбор». Умер 9 апреля 1994 года. Похоронен в Омске на Аллее Героев.
Награжден орденом Ленина, орденами Отечественной войны I и II степеней, медалями.