Родился 9 февраля в селе Большой Кусеряк (ныне – Аромашевский район Тюменской области). После окончания семи классов школы работал в колхозе, где вместе с отцом убирал хлеб. В 1941 году Аркадий стал бухгалтером колхоза, со временем заменив старшего бухгалтера. В феврале 1943 года юношу призвали на службу в Красную армию. На фронтах Великой Отечественной войны с мая того же года.
Из письма сослуживца Аркадия Зенковского:
«Аркадий Иванович Зенковский прибыл на Воронежский фронт в мае 1943 года. Позже сражался на 1-м Украинском. С фашистами сражался героически. За короткое время он вырос до гвардии старшего лейтенанта. О его подвигах красноречиво говорили два ордена Красной Звезды. В сентябре 1944 года коммунисты полка приняли Аркадия Ивановича в ряды партии.
Гвардии старший лейтенант Аркадий Иванович Зенковский командовал ротой гвардейского стрелкового полка.
12 января 1945 года рота прорвала оборону противника и преследовала врага, уничтожая на пути все очаги сопротивления гитлеровцев. С 12 по 26 января рота Зенковского уничтожила около 200 солдат противника.
26 января 1945 года Аркадий Зенковский со своей ротой первым форсировал реку Одер.
Бойцы роты во главе с командиром дрались умело. В ожесточенных боях за плацдарм на берегу Одера рота уничтожила до 150 немецких солдат и офицеров.
31 января 1945 года, при отражении контратак пехоты и танков противника, Аркадий Иванович Зенковский погиб смертью героя. Он погиб, как и жил, - во имя счастья людей».
К январю 1945 года гвардии старший лейтенант Аркадий Зенковский командовал ротой 10-го гвардейского стрелкового полка 6-й гвардейской стрелковой дивизии 13-й армии 1-го Украинского фронта. Отличился во время освобождения Польши.
12 января 1945 года рота Зенковского прорвала немецкую оборону и преследовала отходящие части противника, нанеся тому большие потери. 26 января рота первой переправилась через Одер к югу от Штейнау (ныне – Сьцинава) и в течение трех суток отражала немецкие контратаки. 31 января 1945 года Зенковский погиб в бою.
Награжден орденом Ленина и двумя орденами Красной Звезды.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 10 апреля 1945 года старший лейтенант Аркадий Зенковский посмертно удостоен звания Героя Советского Союза.