Родился 9 марта 1954 в городе Каменск-Уральский, Свердловской области. Учился в средней школе № 20, с 9-го класса школы занимался в народном театре Дома культуры Уральского алюминиевого завода. После школы работал на Каменск-Уральском Металлургическом заводе. В 1972–1974 годах служил в Советской Армии. После демобилизации поступил в Свердловское театральное училище.
По окончании училища распределен в театр города Ирбита, где проработал три с половиной месяца. В 1978 году вошёл в труппу Тюменского государственного театра драмы и комедии.
В 1988–1989 годах играл в Минске. Большей частью деньги зарабатывал песнями под гитару. Устроился в театр-студию Киноактера. Работал в театре города Жданов (Мариуполь), в Вильнюсе, и почти полгода в родном городе Каменск-Уральский – в трансагентстве грузчиком.
В сентябре 1989 вернулся в Тюмень. Было много успешных спектаклей. В начале 1998 года Анатолий Сергеевич ушел из театра. Работал в институте международных отношений, где почти 3 года руководил театральной студией «Вояж». В 2001 году вернулся в свой родной театр.
Анатолию Сергеевичу были подвластны разноплановые роли, он имел широкий творческий диапазон, яркое сценическое дарование.
Искренность и непосредственность, умение вступать в доверительный контакт со зрителем сделали искусство Анатолия Бузинского совершенно неотразимым. Актер захватывал зрителя темпераментом, безудержной веселостью, радостным ощущением жизни. Его фантазия неистощима, он пристрастен к трюкам, импровизации, буффонаде. Особых высот достиг актер при ощущении драматических нот в комедийной ситуации.
В 1997 году Анатолий Сергеевич Бузинский получил звание заслуженного артиста Российской Федерации. Награжден дипломами различных театральных смотров, конкурсов и фестивалей.
В 2014 году Анатолий Сергеевич отметил Бенефис в честь своего 60-летия. Главной наградой для «Блистательного Бузинского» всегда были аплодисменты, которыми щедро одаривали его зрители!
В июне 2015 года Анатолия Сергеевича Бузинского не стало.