Родился 27 августа в Тюмени в семье художников. Первые уроки искусства получил от родителей – Евгения Кропивницкого и Ольги Потаповой. В 1939 году юноша поступил в Московский институт прикладного и декоративного искусства.
В 19411944 годы был на фронте. Во время войны художник получил два ранения. Второе оказалось крайне тяжелым. После Лечения Льву дали инвалидность, демобилизовали и отправили в Москву.
В 1945 году художник продолжил обучение. В институте в то время преподавали многие «нежелательные персоны», в том числе Владимир Фаворский и Александр Дейнека. Кропивницкий учился у последнего и получил навыки не только живописи, но и работы в скульптуре, керамике, исследовал взаимодействие разных видов искусства.
В январе 1946 года юношу вместе с группой студентов арестовали по сфабрикованному делу. Молодежь обвинили в принадлежности к «антисоветской террористической организации». Следующие девять лет он провел в сталинских лагерях в Коми АССР и в Казахстане.
Лев Евгеньевич освободился из-под заключения в 1954 году без права выезда из Балхаша. Работал художником и режиссером в местном доме культуры, руководил местной изостудией. В Москву мастер вернулся через два года.
«После реабилитации в 1956 г. – я в Москве. Но я не тот – позади фронт, лагеря, ссылка. В 34 года начинаю жизнь заново. Потому и поэзия, и живопись не те, не довоенные». Лев Кропивницкий.
Кропивницкий активно участвовал в художественной жизни Москвы. В конце 1950 годов художник работал на комбинате декоративно-оформительского искусства. Здесь он делал афиши, разрабатывал дизайн экспозиций для выставок и музеев: Литературного музея и Музея А. С. Пушкина, Музея Л. Н. Толстого в Ясной Поляне, Т. Г. Шевченко в Киеве, Музея А. Н. Островского в Щелыкове и др. Занимался книжной графикой и художественной критикой. Журнал «Декоративное искусство» опубликовал двенадцать статей художника.
Первые персональные выставки Льва Евгеньевича прошли в 1961 году на квартире у А. Гинзбурга и в салоне В. Кожинова.
В начале 1960-х годов в творчестве начинает преобладать абстрактный экспрессионизм, поскольку «…абстрактная живопись дает возможность максимально приблизиться к реальности, проникнуть в суть вещей, постичь все то важное, что не воспринимается нашими пятью чувствами… Я ощутил современность как совокупность драматических свершений, психологических напряженностей, интеллектуальных перенасыщенностей. Я старался и стараюсь, исходя из пережитого и перечувствованного, создать живописную форму, соответствующую духу времени и психологии века…». Лев Кропивницкий (1965).
В 1963 году на творческую долю художника выпало еще одно испытание. Кропивницкий стал неожиданной жертвой скандала в Манеже. Он был исключен из состава московского отделения Союза художников и ушел «в подполье». Событие произошло после разгрома Хрущевым выставки «30 лет МОСХ» (1962). Несмотря на это в работах Кропивницкого все больше преобладают фигуративные произведения, которые соединяют в себе опыт беспредметности и экспрессионизма, авангарда и примитива. Мифологизм Кропивницкого апеллирует к народной культуре и библейской истории.
В 1973 году Лев Евгеньевич вступил в Союз художников СССР. В это же время состоялась первая официально разрешенная персональная выставка («Дом культуры и техники», Москва). В 1983 году у художника появилась собственная мастерская, которая стала одним из центров неофициальной художественной жизни столицы.
С середины 1980-х приоритеты Кропивницкого вновь сместились в область живописи. Начался новый этап творческой жизни. В 1985-1987 годы создан цикл стихов и офортов «Стенограммы снов» и «Капризы подсознания». В 1988 году прошли персональные выставки в Костромском областном музее изобразительных искусств, а затем в Тюменском музее изобразительных искусств и в Московском музее искусства народов Востока. В 1989 году художник побывал в Италии и Англии, где участвовал в выставке «Сто лет русского искусства». В том же году проходит персональная выставка художника в Праге.
В 1992-1993 годы Лев Кропивницкий подготовил и издал авторский альманах «Мансарда». Здоровье мастера стало ухудшаться. В мае 1994 года он написал свое последнее стихотворение – «Некролог».
26 мая 1994 года Лев Евгеньевич Кропивницкий скончался на руках у родных в Москве.
Искусство Льва Кропивницкого представлено в Государственной Третьяковской галерее, Московском музее современного искусства, Новом музее Аслана Чехоева в Санкт-Петербурге, Музее Циммерли в Нью-Брансуике, США и др., в частных коллекциях в России и за рубежом.
Лев Кропивницкий стал одним из первых художников, который обратился к беспредметному искусству в годы, когда само слово «абстракция» казалось ругательством. Он пришел к ней через войну, лагеря и ссылку. Искусство было для художника способом выплеска колоссального внутреннего напряжения, постижения своего внутреннего эмоционального и духовного мира.