Родился 18 декабря 1948 года в селе Березовка Алтайского края. После службы в армии поступил в музыкальное училище на дирижерско-хоровое отделение, параллельно изучал вокал. Закончил Новосибирскую консерваторию им. М. И. Глинки. В 1979 году Александр Кондратьевич получил приглашение в Пермский академический театр оперы и балета им. П. И. Чайковского, где работал до 1981 года.
В Тюменской областной филармонии Александр Кондратьевич начал музыкальную карьеру в 1982 году сначала как солист. Позже становится еще и солистом хора.
Артист выступал на концертных площадках городов Крайнего Севера, Ханты-Мансийского и Ямало-Ненецкого округов, сельскохозяйственных районов юга Тюменской области.
С 1997 года Цинько – солист камерного хора «Ренессанс» (ныне – хоровая капелла Тюменской филармонии). В составе коллектива Александр Кондратьевич стал лауреатом международного фестиваля-конкурса «Рождественская Прага -2007» и получил Золотой диплом.
За годы творческой работы Александр Цинько подготовил десятки программ для детской и взрослой аудитории. Высокий профессионализм певца помог исполнять самые сложные произведения мирового баритонового репертуара. В концертах артиста звучат арии из опер В. А. Моцарта, Д. Верди, А. Рубинштейна, П. И. Чайковского, оперетт И. Кальмана, И. Штрауса, классические и старинные романсы.
Александр Цинько – первый российский певец, который исполнил партию Короля из пролога духовной оперы А. Рубинштейна «Христос». Эта премьера прошла совместно с оркестром «Камерата Сибири» в Большом зале Санкт-Петербургской филармонии и в Зале им. Ю. Гуляева Тюменской филармонии.
Александр Кондратьевич – обладатель красивого баритона, сдержанно-благородной манеры исполнения. Эти качества в сочетании с трудолюбием и ответственностью позволили достичь Цинько вершин мастерства и стать ведущим артистом филармонии.
Александр Кондратьевич Цинько удостоен звания «Заслуженный артист РФ» за весомый вклад в развитие классического музыкального наследия.