Родился 22 января 1940 года в Могилевской области БССР. Окончил Марьиногорский сельскохозяйственный техникум. После службы в армии поступил в Тюменский государственный сельскохозяйственный институт. В июне 1966 года устроился работать в Учебно-опытное хозяйство того же института главным агрономом. В это время Анатолий Михайлович руководил внедрением передовых технологий по выращиванию элитных семян зерновых и кормовых культур, сортоиспытанию.
В 1973 году ученый Совет Тюменского сельскохозяйственного института рекомендовал Клиндюка директором Учебно-опытного хозяйства. В этой должности Анатолий Михайлович трудился до 2015 года.
В результате кропотливого и напряженного труда хозяйство стало крупным производственным полигоном для испытания новых научных разработок по зональным системам экологизации земледелия, ресурсосбережению, элитному семеноводству, по племенному делу и кормопроизводству. Это позволило увеличить продукцию в животноводстве на 15-20%, в растениеводстве – на 25%. В 2000 году впервые в Тюменской области под началом Клиндюка применили технологию заготовки сенажа и сена с упаковкой в пленку, что помогло решить проблему полноценного кормления животных.
Одна из важных заслуг Анатолия Михайловича – установление тесных связей с научными учреждениями, отечественными партнерами. Большое внимание профессор уделял подбору кадров, рабочих и высококвалифицированных специалистов.
Награжден медалью «За трудовую доблесть», Орденом Дружбы народов, Орденом «За заслуги перед Отечеством IV степени», Почетным званием «Заслуженный работник сельского хозяйства РФ», «Почетный работник сельского хозяйства Тюменского муниципального района», множеством почетных грамот главы Тюменского района, города Тюмени, губернатора Тюменской области, Министерства сельского хозяйства РФ.
В Тюмени Анатолию Михайловичу Клиндюку установлена мемориальную доску.