Родился 17 февраля в Тюмени в семье железнодорожника. В 1938 году после окончания 8 классов поступил в Тюменскую фельдшерско-акушерскую школу. В 1942 году был направлен заведующим фельдшерско-акушерским пунктом в село Юрьевка, Павлоградского района Омской области.
В апреле 1943 года призван в армию. В должности командира санитарного батальона 129-стрелкового полка 165-стрелковой дивизии прошел боевой путь от Курской дуги до Австрии (Румыния, Чехословакия, Венгрия). Награжден орденом «Красной звезды», медалями «За взятие Будапешта», «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.».
Начинал свой боевой путь командиром санитарной роты на Курской дуге, в тяжёлых боях под Прохоровкой. Шли масштабные танковые сражения, когда санинструкторы доставали из подбитых горящих танков обожжённых людей, в тяжёлом состоянии. В одном из первых боёв вся санитарная рота погибла практически в полном составе. И тогда Анатолий бросился доставать из горящих танков людей, спасать. А должен был только сортировать раненых, в этом состояла его функция по уставу. Принцип сортировки в военном котле простой: если стонет раненый и просит о помощи – может немного подождать, а вот если в торпидной фазе шока, заторможен, не кричит – значит, надо срочно спасать жизнь. Бросившись спасать раненых, командир санитарной роты нарушил устав и получил свой первый выговор.
Первый свой орден получил за участие в операции по форсированию Днепра. Тогда же был тяжело ранен в лёгкое, плыл в холодной воде. После лечения в тюменском госпитале, вопреки тому, что его комиссовали по состоянию здоровья, вернулся на фронт и дошёл с Красной Армией до Будапешта.
Его служба продолжалась ещё год после Победы над фашистами на территории Венгрии.
После демобилизации в 1947 году работал фельдшером Ярковской районной больницы. Вскоре был переведен на должность заведующего райздравотделом. С 1949 г. по 1955 г. учился в Свердловском мединституте. По окончании института работал хирургом в Тюменской областной больнице, в том же году был назначен заместителем заведующего Тюменским горздравотделом, а с 1958 г. – заведующим горздравотделом. С 1960 г. по 1962 г. – главный врач 3-й городской больницы Тюмени, а с 1962 г. по 1966 г. – главврач Салехардской окружной больницы. Хирургов почти не было, санитарная авиация для связи с «большой землёй» только зарождалась. Курсировал вертолёт МИ-2, рассчитанный только на лётчика и врача. Они летали по всему тюменскому Северу: Аксарка, Новый Порт, Тазовский, Мыс Каменный.
С 1966 года работал в Тюменском мединституте, вначале ассистентом кафедры общей хирургии, с 1972 по 1975 г. – ассистентом кафедры госпитальной хирургии, с 1975 по 1885 г. – доцентом кафедры факультетской хирургии и с 1985 года до конца жизни (1989 год) – старшим научным сотрудником центральной научно–исследовательской лаборатории.
Разрабатывал операции по замене обожжённой кожи, пересадке. Создал методику помощи при обморожениях.
За время работы в мединституте зарекомендовал себя опытным преподавателем и активным научным исследователем. Опубликовал более 70 научных работ. Имеет 3 изобретения, 7 рационализаторских предложений. А. Дубяга углублённо изучал проблему ожоговой болезни и вопросы трансфузиологии в хирургии. Проводил большую общественную работу (депутат городского совета депутатов трудящихся Тюмени и Салехарда, член Тюменского горкома и Салехардского окружкома КПСС, секретарь парткома института).
В мирное время был награжден орденом «Октябрьской революции» (1976 г.), медалями «За доблестный труд в ознаменование 100-летия со дня рождения В.И. Ленина», «20 лет Победы в Великой Отечественной войне», «30 лет Победы в Великой Отечественной войне», «50 лет вооруженным силам СССР», «60 лет вооруженным силам СССР», «Ветеран труда», «В память 1500-летия Киева», знаком «Отличнику здравоохранения».
Несмотря на суровую профессиональную и жизненную школу, был очень деликатным по отношению к пациентам и коллегам. Он говорил: «Если ты не сможешь относиться к каждому своему пациенту, как к родному и близкому человеку, тебе нечего делать в медицине». Это классика профессиональной этики российского врача, по Бехтереву: «Если больному не стало легче после разговора с врачом, значит, это плохой врач».
В Тюмени есть улица, названная в честь Анатолия Николаевича Дубяги.