Родился 5 августа 1885 года в Вятской губернии Уржумского уезда Петровской волости. В 1892 году семья переселилась в Тюмень. Жили в районе Малого городища в доме № 2 по улице Самарской.
Когда Трофиму исполнилось девять лет, родители отдали его в ученики в фотоателье А. С. Шустера, где он овладел секретами фотографического мастерства. В 1903 году Трофима Логиновича призвали в армию. Со службой связаны и события первой мировой войны. Революция 1917 года застала Трофима в Петрограде во время учёбы в военно-авиационной школе в Гатчине. Выпускники школы – красные авиаторы, принимали участие в сражении под Пулковскими высотами, защищали Петроград с воздуха. В годы гражданской войны Банщиков находился в частях Красной Армии на должности аэрофотографа.
Банщиков вместе с супругой и тремя детьми вернулся в Тюмень после увольнения из армии. Сначала семья жила на бывшей Нобелевской нефтебазе, но из-за тяжелого материального положения переехали в Заводоуковск. Трофим Логинович устроился на железнодорожной станции слесарем, прирабатывал фотосъемками. В годы коллективизации семье пришлось расстаться с хозяйством и вернуться в Тюмень.
Здесь Трофим Логинович работал фотографом газеты «Красное знамя» у своего учителя Шустера. Позже, долгое время трудился в фотоателье «Артель Бытовик» на улице Дзержинского, 42, напротив гастронома. В свободное время занимался пейзажными съемками.
Еще в армии в годы Первой мировой войны его, как знатока фотографии, привлекли к аэрофотосъемкам. Сохранился снимок, где Банщиков стоит возле самолета со специальным фотоаппаратом в руках. Фотография показывает малоизвестную технику аэросъемок тех лет и самолеты начального периода развития авиации. Тогда же фотограф сделал снимок паровоза на станции Крюково под Москвой, которая стала знаменитой в годы Великой Отечественной войны.
Неповторимы сюжеты окрестностей Тюмени, снятых Трофимом Логиновичем в первое десятилетие минувшего века. Из них особенно памятным стал снимок шестиэтажной водяной мельницы на реке Пышме близ деревни Онохиной.
Ценны фотографии с участием самого мастера в молодые и зрелые годы с сыном, а также во время работы в фотостудии. Вклад Т. Л. Банщикова в фотолетопись старой Тюмени настолько велик, что наряду с именами таких тюменских мастеров фотодела прошлого как Высоцкий, Соколов, Огибенин и Шустер, заслуживает благодарной памяти потомков.
Трофим Логинович Банщиков ушел из жизни в 1948 году. Похоронен на Текутьевском кладбище.