Родился в семье Степана Васильевича и Сусанны Алексеевны Колмаковых. Род купцов Колмаковых вышел из крестьян-старообрядцев.
Официально Авксентий проживал в Ялуторовске, но в основном жил в Тюмени, в доме на пересечении улиц Царской (Республики) и Голицынской (Первомайской). Окончил Александровское реальное училище.
Авксентий Степанович в 1898, 1900 и 1901 годах избирался членом учетного комитета отделения Общественного банка на Ишимской ярмарке. Был членом учетного комитета отделения Общественного банка на Ирбитской ярмарке в период с 1899 по 1910 годы.Справочник «Вся Тюмень» от 1910 года обозначает Торговый дом «Братьев Колмаковых» как фирму, которая занималась бакалейной и винно-колониальной торговлей. Колмаковы были судовладельцами, перевозившими собственные грузы по Туре
В 1901 году Колмакова избрали членом комитета по обеспечению продовольствием бедных жителей города. Через два года вошел в состав учетно-ссудного комитета Общественного банка.
Избирался гласным городской Думы в период с 1903 по 1907 годы. В это время он стал одним из инициаторов письма в правительство с обоснованием необходимости проведения железной дороги от Тюмени до Омска.
Был членом учетного комитета городского банка и членом избирательной комиссии по выборам в Государственную Думу в 1907 году. Тогда же его избрали на должность председателя попечительского совета женской гимназии, в которой находился до 1909 года.
В 1910 году купец стал членом городской управы.
Перед революцией, в 1915-1916 годах, Авксентий Степанович входил в состав смешанной комиссии для обеспечения отдыха служащих.
Из воспоминаний: «Авксентий Степанович Колмаков всегда прекрасно одевался, ездил на рысаках, посещал театр». Он был особенно желанным гостем в реальном училище, на студенческих вечерах, сбор от которых шел для помощи нуждающимся студентам. Его любили за щедрость и добрый нрав».Купец много времени уделял благотворительности. Он был председателем Тюменского вспомоществования бедным ученикам коммерческого училища и благотворителем женской гимназии, помогал продовольствием бедным.
За свои благодеяния 1 января 1917 года Авксентия Колмакова удостоили звания «Личный почетный гражданин».
31 августа 1917 года на пороге флигеля своей усадьбы на улице Голицынской купца зарубили топором грабители