Родился 20 февраля 1824 года в семье мещанина-кожевенника. Окончил Тюменское уездное училище. В 1852-1855 годах служил заседателем в тюменском городском суде, где получил благодарность и похвальный лист «За усердие по устройству тюменского городового суда и успешность в делопроизводстве».
Будущий купец начинал с собственной кожевенной мастерской. Сам покупал сырье шкуры, обрабатывал и сбывал готовую продукцию. В 1861 году записался в купцы III гильдии (позже перевелся во II и I гильдии). Постепенно набрал работников и в 1864 году открыл кожевенный завод.
Филимон Стефанович помогал в благоустройстве Вознесенской (Георгиевской) заречной церкви. Стоит заметить, что в метрических книгах этого храма есть записи о рождении и крещении будущего купца, а также регистрации брака. В 1866 году из-за неурожая в Тюмени ощущалась нехватка хлеба. Колмогоров способствовал понижению базарных цен на муку.
Уделял внимание развитию народного образования. В 1855 году «за изъявленное желание вносить в пользу Тюменского приходского училища каждогодно по 150 руб. утвержден Почетным его блюстителем». На эту должность назначался в 1876, 1881, 1884 гг. каждый раз на три года.
В 1867 году Филимона Колмогорова избрали «гласным» (членом) Думы, где «по выбору городского общества и утверждению гражданского тобольского губернатора» работал городским головой до 1870 года. Купца избирали «гласным» на 1873-1877 г.г., 1877-1881 г.г., 1885-1889 г.г. В 1890 году Колмогорова вновь избрали в Думу, но по состоянию здоровья он отказался от этой должности.
В феврале 1868 года гласный Думы Колмогоров награжден серебряной медалью «За усердие» на Анненской ленте для ношения на шее. В январе 1871 года Филимон Степанович получил золотую медаль «За усердие» на Станиславской ленте.
20 мая 1874 года Филимона Колмогорова избрали членом попечительского совета Тюменской женской прогимназии на три года. В этом совете он состоял еще с 1880 по 1887 гг. Меценат содействовал созданию в прогимназии картинной галереи. В марте 1881 года купца избрали членом попечительского совета Тюменского Александровского реального училища на три года и повторно – в июле 1885 года.
К 1875 году кожевенный завод Филимона Колмогорова располагался в семи корпусах. Товар сбывали на ярмарках в Москве, Казани, Екатеринбурге. Поставляли в Британскую библиотеку для переплета книг. В цехах находилось 256 чанов, паровая машина мощностью в 30 л.с., проведен водопровод из Туры, построена лечебница для рабочих, где фельдшером служил Иосиф Карнацевич (отец Станислава Карнацевича). Здесь трудились 200 человек.
Кроме кожевенного дела Колмогоров участвовал личными капиталами в добыче золота на Алтае, в Акмолинске и Семипалатинске. Имел на реке Туре пароход, три деревянных и один кирпичный дом на ул. Мостовой (Щербакова) – теперь «Центр татарской культуры». Летом сдавал собственные склады и сараи под размещение крестьян-переселенцев из России, которые ожидали пароходы.
Рядом с усадьбой Филимон Колмогоров устроил большой сад, где высадил липы и лиственницы.
Помимо основной деятельности Колмогоров занимал не оплачиваемые общественные должности. Например, директора Тюменского общественного банка Кроме того, Филимон Стефанович работал и во временном комитете по оказанию помощи населению Зареки, пострадавшему в 1877 году от наводнения, состоял председателем сиротского суда с 1878 по 1881 год, неоднократно избирался членом учетного комитета Тюменского общественного банка. В 1882 году назначен директором Тюменского попечительского отделения о тюрьмах, оставаясь в этом звании до смерти. Работал в комиссии по улучшению народного труда и местных промыслов.
В 1880 году за усердную службу в учетном комитете временного отделения Госбанка на Ирбитской ярмарке получил золотую медаль «За усердие» на Владимирской ленте. За многолетнюю полезную работу па благо Тюмени по предложению Апартамента торговли и мануфактуры 23 сентября 1883 г. Филимон Степанович Колмогоров возведен в потомственные Почетные граждане.
В 1889 году Филимон Стефанович вступил в компанию «Западно-Сибирское товарищество пароходства и торговли» (Товарпар»), которую создали крупные Тюменские купцы.
В 1890 году на личные средства открыл Вознесенскую школу для девочек и мальчиков, обеспечивал детей всем необходимым для учения, платил жалование учителю.
Умер Филимон Степанович 28 января 1893 года и 31 января погребен на Заречном кладбище (ул. Дружбы).
Жена Ф. С. Колмогорова Прасковья Федоровна занималась общественной деятельностью: в 1877 году ее избрали председателем дамского комитета общества попечения брошенных и больных.
В «Формулярном списке о службе» купца записано, что в 1887 году у него было четверо сыновей: Иван 34 лет (1853 г.р.), Федор 31 года (1856 г.р.), Григорий 30 лет (1857 г.р.), Александр 28 лет (1859 г.р.).
В Центре татарской культуры – бывшем доме Колмогорова, открыта музейная экспозиция, которая посвящена семье мецената.