Родился 7 мая 1921 года в Анжеро-Судженске Кемеровской области. Со временем его семья перебралась в Омск, где Леонид Мечиславович поступил в музыкальное училище по классу виолончели.
В 1939-1940 годы Згерский руководил самодеятельным коллективом типографии газеты «Омская правда». Участник Великой Отечественной войны. Защищал Москву, воевал на Калининском, Северо-Западном, 2-ом Прибалтийском фронтах. С фронта он приехал в Тюмень, где начал работать начальником планового отдела артели «Кожизделия». В то же время познакомился с музыкантами, а с октября 1947 года стал играть в духовом оркестре при Тюменском концертно-эстрадном бюро.
15 октября 1953 года Леонид Мечиславович назначен директором концертно-эстрадного бюро. 30 октября 1958 года оно преобразовано в Тюменскую областную филармонию, которую стал возглавлять Згерский. В этой должности он проработал 43 года.
Много лет Леонид Мечиславович занимался проблемами строительства нового здания филармонии, одновременно организуя концертную деятельность. 19 декабря 1967 года зал на 1100 мест был окончательно сдан в эксплуатацию.
Леонид Згерский сформировал коллектив единомышленников – сотрудников филармонии. Способствовал созданию новых эстрадных и музыкальных коллективов. Выступал инициатором зарождения музыкальных праздников «Алябьевская музыкальная осень», «Всероссийский конкурс вокалистов имени Ю. Гуляева», фестиваль «Тюменский меридиан», «Дни органной музыки» и других.
Награжден орденом Отечественной войны II степени и другими боевыми медалями, орденами Трудового Красного Знамени и Знак Почета, многочисленными почетными грамотами и дипломами. Неоднократно избирался депутатом городского Совета народных депутатов.
Звание «Почетный гражданин города Тюмени» присвоено 27 апреля 1995 года.