Родился в Тюмени. Детство прошло в Зареке. В начале XIX века на реке Туре молодежь устраивала каток с беговой дорожкой, которая поддерживалась всегда в хорошем состоянии. Уже здесь будущий спортсмен проявил себя в скоростном беге на коньках.
Впервые фамилия Максунова появилась в списке сборной команды Тюмени по футболу на первой Всесибирской Олимпиаде, которая проходила в Омске в 1920 году. Выступили неудачно, уступив в первой же игре Барнаулу со счетом 0:2. Алексей упорно тренировался в футболе, легкой атлетике (бег на средние и длинные дистанции) и в конькобежном спорте. В 16 лет он участвовал во Всероссийской Олимпиаде и занял шестое место в беге на 5 000 метров. На зимнем первенстве Тюменского округа в марте 1923 года по конькобежному спорту получил второе место. В августе, после успеха на Всероссийской Олимпиаде, Алексея стали называть «стайером первого класса».
В 1924 году спортсмен победил в первенстве Тюменского округа. Попутно выступал в первом чемпионате РСФСР, где участвовал в первой и последней, к сожалению, игре сборной Тюмени с командой Омска (0:7 в пользу Омска). Футбольные неудачи были с лихвой компенсированы в легкой атлетике: чуть позже, в августе, на первенстве Уральской области он обновил региональные рекорды на средних и длинных дистанциях.
В конце 1924 года Алексея призвали в армию. Служил юноша в Ленинграде, где и остался жить. С этого времени Максунова называли ленинградским спортсменом.
В 1925 году Максунов стал лучшим стайером страны. Он побеждал на всех всесоюзных соревнованиях и с завидным постоянством бил собственные рекорды. В 1928 году спортсмен блестяще выступил на Всесоюзной Спартакиаде в Москве. За спортивные подвиги в 22 года Алексею присвоили звание заслуженного мастера спорта.
Победы доставались очень тяжело. Огромная сила воли позволяла преодолевать усталость и боль. Всесоюзный рекорд 1928 года на 10 000 метров (32 мин. 34 сек.), который поставил спортсмен, продержался шесть лет и был побит только Серафимом Знаменским.
Алексей Максунов ушел из жизни в 1937 году в 31 год от тифа в Ленинграде.
Максунов Алексей Иванович в 1925 году стал сильнейшим стайером страны. В 1926 году в составе сборной СССР участвовал в первенстве спортивного рабочего союза Франции. Заслуженный мастер спорта СССР по легкой атлетике (1928), чемпион и рекордсмен СССР по конькам. Один из первых тюменских спортсменов. В 1922 году на первенстве РСФСР по легкой атлетике занял первое место в беге на дистанции 10 тыс. метров.
В 2009 году в Тюмени именем Алексея Максунова названа улица.