Родился 30 мая. Окончил Тюменский лесотехникум, Омский институт физической культуры.
Путь в большой спорт Анатолий начал в Тюмени. Тренеры отмечали у него невероятную работоспосбность. Юноша проявил себя в различных видах спорта. Имел первый разряд по велосипедным гонкам, достиг успехов в легкой атлетике, стендовой стрельбе, ручном мяче, кроссе, роликовых коньках, гребле, баскетболе, футболе. В 1960 году спортсмен впервые участвовал в республиканских зональных соревнованиях и выиграл их.
В 1962 году на первенстве спортивного общества «Спартак» Анатолий Мельников выполнил норматив и стал первым мастером спорта по лыжным гонкам Тюменской области. Успешно выступал в различных соревнованиях, на которых показывал высокие результаты.
Анатолий Николаевич работал тренером. Его воспитанники блестяще выступали на Всесоюзной арене: Виктор Низковских выиграл международные соревнования «Праздник Севера» и стал мастером спорта международного класса, чемпионом международных соревнований «Праздник Севера»; мастер спорта Виталий Степанов, Михаил Иванов, Сергей Шестов и многие другие. Много лет Анатолий Николаевич возглавлял ДЮСШ облспорткомитета.
Мельников хотел организовать на Мысу спортивную школу-интернат. Подобрал специалистов. Но реализовать проект на получилось. Не было возможности проводить полноценные тренировки, а на регулярные выездные сборы не хватало средств.
В начале 1970-х годов Анатолий Мельников приобрел небольшой домик на Черной речке. Здесь он провел исследование урочища Красная горка и Бутусов лог, расположенных в 44-х км. от областного центра на левом берегу реки Балда вблизи деревень Мичурино и Костылево, на предмет проведения соревнований по лыжным гонкам. Рельеф местности и перепад высот позволял подготовить достаточно сложные и интересные лыжные трассы. В итоге на этой территории спроектировали лыжные трассы с частичной вырубкой.
Тренер укомплектовал базу чехословацким оборудованием, которое сам сторожил. С 1976 по 1992 годы на этой территории проводились чемпионаты области, первенства добровольных спортивных обществ и учебно-тренировочные сборы. Главным судьей этих соревнований был друг Анатолия Николаевича – Николай Аржилов, а Мельников – начальником дистанции.
К сожалению, судьба спортивной базы Мельникова в то время не сложилась. Половину оборудования сожгли, половину разворовали.
Теперь это место хорошо известно тюменцам, как Центр зимних видов спорта «Жемчужина Сибири», на базе которого проходят соревнования уровня Чемпионата России, Континентального кубка, Кубка Мира, Чемпионата Мира и т.д.
В честь Мельникова в Тюмени проводятся областные соревнования по лыжным гонкам.
Анатолий Мельников удостоен звания Почетный мастер спорта СССР. В 1993 году ему присвоили звание Заслуженный тренер РСФСР.
Анатолий Мельников погиб 10 июля 1993 году на Черной Речке от удара электротоком.