Родился 7 декабря 1938 года в деревне Спирино Абатского района Тюменской области.
В 1969 году Юрий Акишев окончил Московский текстильный институт. Учился у заслуженного художника РСФСР А. М. Дубинчика и у профессора, члена Московского союза художников. А. С. Трофимова.
После учебы в институте по распределению работал в Украинской ССР. В 1970-е годы Юрий Акишев переехал жить в Тюмень. Трудился в художественном фонде, исполнял как частные, так и государственные заказы. Его совместная работа с Александром Новиком по декоративной росписи и объемной резьбе по гипсу для детской библиотеки выставлялась на Всероссийской выставке монументального искусства и заняла призовое место.
Юрий Михайлович – график, живописец, жанрист, участник городских, областных, республиканских, всесоюзных выставок. В 1989 году в Тюмени в выставочном зале Союза художников состоялась персональная выставка Юрия Акишева. В 1998 году открылась его персональная выставка в Тюменском музее изобразительных искусств.
Юрий Акишев работал в технике коллажа, офорта, гравюры на картоне, рисунка. Создавал тематические композиции и натюрморты. С 1990 года – член союза художников СССР. Деревенская тема проходила на протяжении всей его творческой жизни. Произведения Юрия Михайловича находятся в Тюменском музее изобразительных искусств (Музейный комплекс им. И. Я. Словцова), Государственном музее изобразительных искусств в Узбекистане, в частных собраниях России, Европы и Америки.
Преподавал в Тюменской гимназии № 21.
Умер 23 ноября 2017 года. Похоронен в Тюмени.
