Родился 14 сентября в Тюмени. Детство прошло в поселке Мыс. Первые уроки актерского мастерства мальчик получил в драматическом кружке во Дворце пионеров. Несмотря на то, что все пророчили юноше военное будущее, после окончания школы он поехал в Москву. Здесь Александр с первого раза поступил в ГИТИС на курс актеров-мхатовцев О. Н. Андровской и Г. Г. Конского.
После института, начинающего артиста заметил режиссер Марлен Хуциев. Он предложил роль лейтенанта Николаева в картине «Был месяц май», которая стала самой главной в карьере. После успешного дебюта приглашения сниматься посыпались на Александра в огромном количестве. Ежегодно выходило несколько фильмов с его участием.
Аржиловский также играл на сценах Кировского, Воронежского и Ленинградского театров. В 1981 году актер вступил в труппу только открывшегося Минского театра-студии киноактера под руководством белорусского режиссера Бориса Луценко. Спектакли имели успех у зрителей и критиков.
В 1990-е годы мало снимали кино и в театре зрителей практически не было. Александр устроился работать таксистом. Пассажиры его узнавали, говорили: «Как вы можете!». Артист переживал, метался, чувствовал себя выброшенным на обочину.
Александр Михайлович любил творчество Ван Гога. Можно сказать, «болел» его трудной судьбой. Сам написал пьесу о художнике, хотел воплотить его образ на сцене. Ездил во Францию, где месяц прожил в доме для умалишенных, чтобы прочувствовать атмосферу, в которой закончил свои дни художник. Мечта актера не воплотилась на сцене, он не смог найти постановщика.
В 1997 году Александр Михайлович поехал во Францию, где снялся в короткометражной комедии «Челябинск». Вернулся с контрактом на роль в полнометражной картине на французском языке, но роль отдали другому. Это стало еще одним ударом.
В 1999 году актер вернулся в родной город и устроился в Тюменский драматический театр. Здесь стал репетировать роль Артура де Варвиля в спектакле «Дама с камелиями». Александр хотел внести новые направления в работе, но все его предложения отвергались руководством. В местной прессе в отношении актера развернулась настоящая травля. Его называли неудачником, который еще смеет кого-то учить.
Аржиловский тяжело переживал это время и не скрывал своих чувств: «Я терпеливый. Но во что мне это обходится? Терпеть и ждать в 50 лет, когда понимаешь, что каждый твой день – приближение к посадке… Ощущение внутреннего краха, которое я пережил, еще слишком близко. Киномир жесток и несправедлив. Актеров быстро списывают. Они спиваются, вешаются, погибают. Над каждым из нас висит возможность бесславного конца. Но во мне еще есть живые ростки надежды».
Словно сам себя заговаривал. Пытался убедить внутреннее «я» потерпеть еще. Однако самым близким он признался: «Устал от ненужности…».
В том же году Александр Аржиловский ушел из жизни по собственной воле.
Почти два года народный артист России Владимир Орел пытался снять фильм об Аржиловском. Заявлялся на гранты, терпел неудачу. Огорчался, искал неравнодушных людей. Съемочная бригада из Тюмени съездила в Москву к режиссеру Марлену Хуциеву и в Минск – в гости к коллегам Александра Михайловича по театру-студии киноактера.
Презентация фильма состоялась в Тюменском театре драмы и комедии.
Играл в картинах: «Был месяц май» (лейтенант Николаев, главная роль), «Горячий снег» (лейтенант), «Смешные люди» (секретарь следователя), «Пора летних гроз» (Грачев), «Любить по-русски-2» (генерал-майор), «Государственная граница» (подполковник), «Последняя осень» (офицер КГБ Логунов) и мн. др.