Родился 12 сентября. Окончил Томскую гимназию с серебряной медалью. В 1875 году получил звание инженера-технолога 1-го разряда на курсах Санкт-Петербургского технологического института.
Согласно приказу главного инспектора училищ Западной Сибири от 19 мая 1883 года Багаева определили на должность преподавателя химии и технологии в Тюменское реальное училище.
Помимо педагогической работы Фёдор Григорьевич избирался в члены хозяйственного комитета учебного заведения. Состоял классным наставником в дополнительных классах химического отделения. Неоднократно избирался заведующим библиотекой. Первый раз в 1884 году. За заведование библиотекой получал надбавку в размере 120 рублей. «За усердное и аккуратное исполнение обязанностей библиотекаря в течении 1895-1897 года» получил премию в сумме 100 рублей.
В 1888 году Фёдору Григорьевичу объявлена благодарность «за добросовестное исполнение своих обязанностей и за то, что не пропустил ни одного урока в течении трех учебных лет». В том же году получил чин коллежского асессора. Кроме химии учитель преподавал строительные искусства, счетоводство и арифметику. Его оклад составлял 900 рублей в год.
Под влиянием учителя Багаева будущий дипломат Леонид Красин приобрел любовь к техническим наукам, стал инженером-электротехником. По своему проекту он построил в Баку электрическую станцию и руководил ею несколько лет.
22 декабря 1889 года Багаев награжден Орденом Святого Станислава II степени. За выслугу лет в 1890 году произведен в чин надворного советника, в 1891 году – коллежского.
В 1892 году Фёдор Григорьевич утвержден в должности преподавателя естественной истории и физики реального училища. В 1895 году пожалован в чин статского советника. В том же году Багаеву присвоена серебряная медаль в «память почившего императора Александра III».
В 1899 году произошел поворотный момент в жизни преподавателя. Его направили в Саратов. Там Фёдору Григорьевичу предстояло возглавить химико-теоретическое отделение только открывшегося Соединенного среднего механико- и химико-технического училища (теперь Колледж радиоэлектроники имени П. Н. Яблочкова). Служба была недолгой. В конце 1900 года Багаев вернулся в Тюмени и вновь приступил к обязанностям преподавателя, но уже математики и физики в Александровском реальном училище. В Государственном архиве Саратовской области хранится личное дело заведующего учебной частью Ф. Г. Багаева за период с 8 июня 1899 по 23 октября 1900 года.
В 1907 году Фёдора Григорьевича наградили орденом святой Анны II степени. Он работал уже в статусе заслуженного преподавателя физики. Проводил увлекательные опыты по естествознанию для детей, заведовал училищным музеем. Заработная плата статского советника Багаева с учетом надбавок, сверхурочных и совместительства составляла 3330 рублей в год.
Заслуженный врач РСФСР Станислав Карнацевич в юности учился у Багаева. В своих воспоминаниях называет учителя мрачным, малоразговорчивым. Но поскольку физику он любил, то всегда получал «хорошие и отличные отметки». Карнацевичу запомнились «интересные приборы», которых в кабинете учителя было множество. Когда Багаева возмущал неправильный ответ или поведение ученика, он восклицал: «Ах ты мать-игуменья!» Станислава Иосифовича учитель называл не по фамилии, а по отчеству, заменяя Иосифович на Осипыч. Ученики дали кличку Багаеву «Мизгирь». Дети любили Фёдора Григорьевича несмотря на его угрюмость и благодарили за знания по физике и химии.
1 января 1913 года преподавателю Багаеву вручили Орден Святого Владимира IV степени за гражданские заслуги. Такой наградой удостаивались в основном купцы и промышленники.
Женился учитель поздно, после 1892 года. Его избранницей стала Надежда Карелина, дочь подпоручика, младше Багаева на 20 лет. Надежда Александровна преподавала ботанику и зоологию в женской гимназии. Учительница часто водила гимназисток на экскурсии в музей Александровского реального училища, которым заведовал ее муж. В музее находилась богатая коллекция Западно-Сибирских животных и растений. Многие экспонаты сохранились до наших дней и представлены в музее «Городская Дума».
Супруги проживали на Гостинодворной площади в доме Перевалова. Детей у них не было.
Фёдор Григорьевич умер в 1925 году. Причиной стала тяжелая болезнь.На фото представлены учебные классы и структурные подразделения Александровского реального училища, в которых преподавал и работал Фёдор Багаев.
