Родился в Тюмени. Учился в городском уездном училище. Затем продолжил обучение в Тобольске, где получил свидетельство на звание «учитель начального училища». В 1894 году окончил Санкт-Петербургскую Академию художеств со званием «учитель чистописания в средних учебных заведениях». Получил именное свидетельство на право преподавания рисования в низших учебных заведениях.
В 1892 году Шелудков поступил на службу в Тюменское уездное училище на должность учителя чистописания, черчения и рисования. Жалованье молодого специалиста составляло 475 рублей в год, из которых 100 рублей выплачивалось в квартальную премию.Константин Васильевич более 30 лет своей жизни посвятил преподаванию рисования в образовательных заведениях города. Воспитал многих тюменских художников.
В 1907 году Константина Васильевича произвели в чин губернского секретаря, в 1913 году – коллежского асессора. За безупречную службу награжден орденом святого Станислава III степени, медалями в память царствования Императора Александра III и в память 300-летия Дома Романовых.
С 1913 года Шелудков преподавал графические искусства в Тюменском четырехклассном городском училище. Параллельно вел тот же предмет во Втором Тюменском мужском высшем начальном училище. С 1914 года учебные заведения находились в одном здании на улице Подаруевской (теперь улица Семакова). Жалованье коллежского асессора Шелудкова составляло 500 рублей. Статус учителя позволял пользоваться правом на четыре пятилетние прибавки по 400 рублей.
После революции 1917 года Константин Васильевич работал учителем рисования в тюменских городских школах.
Художник Митинский в юности учился у Шелудкова. Вот что пишет Александр Павлович о педагоге в своих воспоминаниях. Это было в 1930 году, Митинскому тогда было 25 лет:
Константин Васильевич был женат. В семье воспитывалось пять детей – три сына и две дочери. Точная дата смерти учителя неизвестна. Предположительно он умер после 1930-х годов.«Перехожу на новую незнакомую мне работу в школу... Учителя во всех школах просили меня их с работы не убирать, так как им нужен был заработок. Среди них и мой бывший учитель Константин Васильевич Шелудков. Пришлось на работу поступить в семилетку Водников № 4 на Ишимской улице... В школах я стал работать с 20 августа 1930 года. Очень я боялся работать в школе, можно сказать просто трусил, главное с чего начать уроки первые в 5, 6, 7-х классах и как вести на уроках, где взять программу. Обратился за помощью к Аркадию Андреевичу Китову, учителю рисования, мы вместе с ним учились в художественной студии в 1921-23 годах, а он в ответ: «Раз взялся работать в школах – так работай, а помощи не жди». Также ответили мне Курьен и Наймуш, тоже хорошие знакомые. Пошел к своему бывшему учителю К. В. Шелудкову, спасибо ему, он мне помог. Довольно-таки оригинально: дал программу, затем провел для меня первый урок, посоветовал опросить учеников по фамилиям, чтобы познакомиться с ними. Порекомендовал показать, какой нужен материал и как им пользоваться, побеседовать о важности рисования и черчения. В конце сказал: «Так урок и пройдет, а на втором уроке сам сообразишь, что делать». Главное он меня подбодрил. Спасибо ему за это, а остальные «товарищи» отнеслись как волки…».