Родился в семье Алексея Ильича Брюханова. Род купцов Брюхановых вышел из ямщиков. Дед Михаила Алексеевича, Илья Степанович Брюханов, был причислен в тюменские мещане из крестьян и стал впоследствии купцом III гильдии.
Некоторое время Михаил Брюханов проживал в семье своей тети, Августы Флегонтовны, супруги его дяди Александра Ильича Брюханова, вместе с двоюродными братом Петром и сестрой Фотиной. В 1897 году был поручителем при бракосочетании Фотины и тобольского мещанина Владимира Александровича Гирмана, а через 2 месяца сам женился на сестре Гирмана – Ольге Александровне.
В 1907-1910 годах Михаил Алексеевич Брюханов вместе с двоюродным братом Петром Александровичем создал фирму «Торговый дом «Братья Брюхановы». Фирма занималась торговлей посудой, лампами, мебелью и другими товарами. Распорядителем торгового дома был Михаил Алексеевич, он вел все финансовые дела.
Из текста договора об учреждении Товарищества: «Основной капитал Товарищества был определен в 50 тысяч рублей. Эта сумма составлялась из взносов: со стороны Михаила Алексеевича – товаром, находящимся в его магазине по Царской улице города Тюмени, и наличными деньгами всего на сумму 30 тысяч рублей, а со стороны Петра Александровича Брюханова – товаром, находящимся в его магазине на той же улице, и наличными деньгами всего на сумму 20 тысяч рублей…»
Усадьба Михаила Брюханова, где размещалась контора, находилась на улице Царской (сейчас – ул. Республики, 42) напротив Единоверческой церкви.
Кроме торговли Михаил Алексеевич большое внимание уделял общественной работе и благоустройству города.
В 1903 году Брюханова избрали членом ревизионной комиссии по проверке отчета городского ломбарда. Через два года стал членом комиссии для оценки мест под постройку торговых лавок на ярмарочной площади и торговым депутатом от Тюмени, на этой должности находился до 1913 года. С 1906 по 1917 годы был заместителем члена 1-го раскладочного присутствия, в 1907 году – членом комиссии по рассмотрению городских доходов и расходов на 1908 год.
Избирался гласным городской Думы в период с 1903 по 1915 годы.
С 1907 года был членом попечительского совета городского училища и женской гимназии. В период с 1908 по 1914 годы был главой попечительского совета и членом комитета Владимирского сиропитательно-ремесленного заведения. В 1910 году стал председателем отделения Общества для борьбы с детской смертностью.
Михаил Брюханов в течение шести лет с 1909 года занимал должность помощника мирового судьи и почетного мирового судьи Тобольского окружного суда, а также с 1911 по 1915 год – должность гласного Тюменского городского суда.
В этот же период Михаил Алексеевич принимал активное участие в благоустройстве Тюмени: был членом комиссии по постройке городского водопровода и осмотру городской водокачки, помогал в обустройстве торговых лавок на ярмарочной площади и моста на улице Голицынской (Первомайской), который ведет к железнодорожному вокзалу.
Большой вклад купец внес в работу по устройству электрического освещения в Тюмени. Он был одним из учредителей и активным членом-вкладчиком «Товарищества на вере под фирмою «Товарищество Тюменской Электрической станции». С 1912 года Брюханов стал ее директором-распорядителем, компания была переименована в «Тюменскую компанию электричества «М. Брюханов и К».
С 1913 года стал владельцем типографии, издателем ежедневной газеты «Вестник Западной Сибири».
За свои благодеяния в 1914 году Михаила Брюханова наградили серебряной медалью «За усердие» на Станиславской ленте.
В 1915 году он перестал избираться на выборные должности и отошел от многих дел. Вероятной причиной этого исследователи указывают развод с супругой Ольгой Александровной. Кроме того, на это могли повлиять противоречия с коллективом типографии и вынужденное закрытие газеты «Вестник Западной Сибири».
О судьбе Брюхановых после Октябрьской революции 1917 года известно мало. В 1919 году после вступления в Тюмень войск 51-й стрелковой дивизии под командованием Василия Блюхера Брюхановы выехали из города, вероятно Михаил Алексеевич был среди них. Данных о дальнейшей его судьбе нет.